横向きのタイル I を \(2\) つ使って \(2 \times 2\) の形で使う個数を \(x\) と決め打ちます。タイル L とこれを並べる通り数は \({}_{\frac{A}{2}+1} \mathrm{H}_{x} \times 2^{\frac{A}{2}}\) です。
残りのタイル I を挿入することを考えて、これに \({}_{B-2x} \mathrm{H}_{A+x+1}\) を掛けると決め打った状態での答えが求まります。

\(x\) は \(\lfloor \frac{B}{2} \rfloor\) まで考えればいいので、全体で \(O(N)\) で答えが求まります。