求める答えを \(a_N\) とします。 \(N-1\) 枚目までの塗り方を適当に決めたとき、その \(N-1\) 枚に「青色が奇数枚かつ黄色が偶数枚」の場合を除き、問題文中の条件を満たすような最後の1枚の塗り方がちょうど1通り存在します。

\(N-1\) 枚に「青色が奇数枚かつ黄色が偶数枚」となるような塗り方は、青色と黄色の役割を入れ替えることで \(a_{N-1}\) 通りであることが分かるので、\(a_N=3^N-a_{N-1}\) という漸化式を得ることができ、\(A_0=0\) と合わせて \(a_N=\frac{3^N-(-1)^N}{4}\) を得ることができます。