"以下の操作から一つ選んで実行すること"を非負整数回行える
と
以下の操作から一つ選んで "(選んだ操作を)実行すること"を非負整数回行える
のどちらでしょうか？

誤解を招く表現で申し訳ございません。前者の解釈を意図しています、すなわち 6 種類の操作を任意の順序で何度でも行うことができます。そのように問題文を書き換えます。
before : 取引所 X(X=A,B) では、以下の操作から一つを選んで実行することを、非負整数回( 0回も可)行うことができます。
after : 取引所 X(X=A,B) では、以下の操作を任意の順序で任意の整数回行うことができます(一度も行わなくてもよいです)。
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すべてのハミルトン経路の全長とは、それぞれのハミルトン経路の長さが10^11以下ということですか？　全てのありうるハミルトン経路の長さの合計が10^11以下ということですか？

それぞれのハミルトン経路の長さが 10^11 以下という意図です。そのように書き換えます。

(追記) 「すべてのハミルトン経路の全長を 10^11 以下」→「それぞれのハミルトン経路の全長を 10^11 以下」と書き換えました。誤解を招く表現で申し訳ございませんでした。

(For international contestants: please ignore this question.)