グラフに多重辺を作って次数を偶数にするところは公式解説を見てください。

実際にオイラー閉路を構築するパートで、nx.eulerian_circuit(グラフ, source=始点)とすることで、自前で実装しなくてもオイラー閉路を構築することができます。

グラフに多重辺があるため、nx.MultiGraphを使う必要があることに注意してください。

実装例