説明のため、石が左右に並んでいるとし、左端から順に \(1, 2, \cdots , n\) と番号を振ったとします。

(i) \(n\) が偶数の場合

\(n=2m (m=1, 2, \cdots)\) とします。

このとき、距離が \(m\) 離れた石どうしをペアにすることで、ペアを \(m\) 個作ることができます。 具体的には、石 \(1\) と石 \(m+1\) 、石 \(2\) と石 \(m+2\) 、…とペアにします。

すると、 \(k<m\) の時は、後手は先手の選んだ石とペアになっている石を必ず選べるので、後手勝ちです。

また、 \(k \ge m\) の時は、先手が石 \(m\) を選ぶことで、 全ての石が距離 \(k\) 以内になり後手が次に選ぶ石がなくなるので、先手勝ちです。

(ii) \(n\) が奇数の場合

\(n=2m-1 (m=1, 2, \cdots)\) とします。

\(n\) が偶数の場合と同様に、石 \(1\) と石 \(m+1\) 、石 \(2\) と石 \(m+2\) 、…とペアにすると、 ペアが \(m-1\) 個でき、石 \(m\) だけ余ります。

すると、 \(k<m\) の時は、はじめ先手が石 \(m\) を選べば、以降後手が選んだ石とペアの石を先手は必ず選べるので、 先手勝ちです。

また、 \(k \ge m\) の時は、やはり先手が石 \(m\) を選べば、 全ての石が距離 \(k\) 以内になり後手が次に選ぶ石がなくなるので、先手勝ちです。

まとめ

• \(n\) が偶数の場合： \(k<\frac{n}{2}\) なら後手勝ち、 \(k\ge \frac{n}{2}\) なら先手勝ち
• \(n\) が奇数の場合：先手勝ち