F - Christmas Tree 解説 /

実行時間制限: 2 sec / メモリ制限: 256 MB

配点 : 900 点

問題文

高橋君は、AtCoder 社のクリスマスパーティーに向けて、クリスマスツリーを作ることにしました。

クリスマスツリーとは 頂点に 1 から N まで番号付けられた N 頂点 N-1 辺の木で、 i(1\leq i\leq N-1) 本目の辺は頂点 a_i と頂点 b_i を結んでいます。

高橋君は、以下の方法でクリスマスツリーを作りたいです。

  • 2 つの非負整数 A,B を指定する。
  • 長さ B 以下のクリスマスパスを A 個用意する。ただし、長さ X のクリスマスパスとは、X+1 頂点 X 辺からなるグラフであって、頂点に 1 から X+1 までの番号を適切につければ、i(1\leq i\leq X) 本目の辺が頂点 i と頂点 i+1 を結んでいるようにできるものを指す。
  • 以下の操作を、全体が連結になるまで繰り返す。
    • 異なる連結成分に属する 2 頂点 x,y をとる。頂点 x と頂点 y をまとめて 1 つの頂点にする。より正確には、頂点 y に接続するすべての辺 (p,y) について辺 (p,x) を追加したあと、頂点 y と、y に接続する辺をすべて削除する。
  • 出来上がった木の各頂点に、適当な番号をつける。

高橋君は、クリスマスツリーを作ることのできるような組 (A,B) のうち、辞書順最小のものを求めたいです。 すなわち、A の最小値を求め、A の最小値を達成するという条件のもとで B の最小値も求めたいです。

高橋君にかわって、この問題を解いてください。

制約

  • 2 \leq N \leq 10^5
  • 1 \leq a_i,b_i \leq N
  • 与えられるグラフは木である

入力

入力は以下の形式で標準入力から与えられる。

N
a_1 b_1
:
a_{N-1} b_{N-1}

出力

辞書順最小の (A,B) に対し、A,B を空白区切りで出力せよ。

入力例 1

7
1 2
2 3
2 4
4 5
4 6
6 7

出力例 1

3 2

下の図のような方法で、クリスマスツリーを作ることができます。

入力例 2

8
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
5 7
5 8

出力例 2

2 5

入力例 3

10
1 2
2 3
3 4
2 5
6 5
6 7
7 8
5 9
10 5

出力例 3

3 4

Score : 900 points

Problem Statement

Takahashi has decided to make a Christmas Tree for the Christmas party in AtCoder, Inc.

A Christmas Tree is a tree with N vertices numbered 1 through N and N-1 edges, whose i-th edge (1\leq i\leq N-1) connects Vertex a_i and b_i.

He would like to make one as follows:

  • Specify two non-negative integers A and B.
  • Prepare A Christmas Paths whose lengths are at most B. Here, a Christmas Path of length X is a graph with X+1 vertices and X edges such that, if we properly number the vertices 1 through X+1, the i-th edge (1\leq i\leq X) will connect Vertex i and i+1.
  • Repeat the following operation until he has one connected tree:
    • Select two vertices x and y that belong to different connected components. Combine x and y into one vertex. More precisely, for each edge (p,y) incident to the vertex y, add the edge (p,x). Then, delete the vertex y and all the edges incident to y.
  • Properly number the vertices in the tree.

Takahashi would like to find the lexicographically smallest pair (A,B) such that he can make a Christmas Tree, that is, find the smallest A, and find the smallest B under the condition that A is minimized.

Solve this problem for him.

Constraints

  • 2 \leq N \leq 10^5
  • 1 \leq a_i,b_i \leq N
  • The given graph is a tree.

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

N
a_1 b_1
:
a_{N-1} b_{N-1}

Output

For the lexicographically smallest (A,B), print A and B with a space in between.

Sample Input 1

7
1 2
2 3
2 4
4 5
4 6
6 7

Sample Output 1

3 2

We can make a Christmas Tree as shown in the figure below:

Sample Input 2

8
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
5 7
5 8

Sample Output 2

2 5

Sample Input 3

10
1 2
2 3
3 4
2 5
6 5
6 7
7 8
5 9
10 5

Sample Output 3

3 4