C - Fountain Walk Editorial /

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配点 : 900 点

問題文

都市ネバーモアには、10^8 本の東西方向の通りと 10^8 本の南北方向の通りがあり、どちらにも 0 から 10^8-1 の番号が付けられています。隣接する二本の東西方向の通りの間の距離はちょうど 100 メートルで、隣接する二本の南北方向の通りの間の距離もちょうど 100 メートルです。

すべての東西方向の通りは、すべての南北方向の通りと交わります。すべての交差点は、交差する南北方向の通りの番号を x、東西方向の通りの番号を y として組 (x, y) で表されます。

この都市には N 個の噴水があり、交差点 (X_i, Y_i) に設置されています。 通常の交差点と異なり、これらの交差点には交差点を中心とした半径 10 メートルの円が噴水の外周として描かれており、その内部に道路はありません。

下の図に、都市の一角の道路や噴水の光景の例を示します。

1f931bf0c98ec6f07e612b0282cdb094.png

市長たちは、同じ通りを歩いている間に噴水を二回以上見たくありません。ですから、どの東西方向の通りにも噴水は一つまでしか設置されていませんし、南北方向の通りについても同様です。

市民が通行できるのは東西、南北方向の通りと噴水の外周です。交差点 (x_1, y_1) から (x_2, y_2) に移動するには、最短で何メートル歩く必要があるでしょうか？

制約

  • 0 \leq x_1, y_1, x_2, y_2 < 10^8
  • 1 \leq N \leq 200,000
  • 0 \leq X_i, Y_i < 10^8
  • i \neq j のとき X_i \neq X_j
  • i \neq j のとき Y_i \neq Y_j
  • 交差点 (x_1, y_1), (x_2, y_2) は異なり、これらの位置に噴水は設置されていない。
  • 入力値はすべて整数である。

入力

入力は以下の形式で標準入力から与えられる。

x_1 y_1 x_2 y_2
N
X_1 Y_1
X_2 Y_2
:
X_N Y_N

出力

交差点 (x_1, y_1) から (x_2, y_2) に移動するために歩くべき最短距離をメートル単位で出力せよ。出力は、絶対誤差または相対誤差が 10^{-11} を超えなければ正答とみなされる。

入力例 1

1 1 6 5
3
3 2
5 3
2 4

出力例 1

891.415926535897938

最短経路の一つを下の図に示します。スタート地点は青の点、ゴール地点は紫の点、途中経路は赤の線です。

c49e52b9b79003f61b8a6efa5dad8ba3.png

入力例 2

3 5 6 4
3
3 2
5 3
2 4

出力例 2

400.000000000000000
f9090ab734c89424c413f3b583376990.png

入力例 3

4 2 2 2
3
3 2
5 3
2 4

出力例 3

211.415926535897938
4b76416161f27cad20333a9ac636e00f.png

Score : 900 points

Problem Statement

In the city of Nevermore, there are 10^8 streets and 10^8 avenues, both numbered from 0 to 10^8-1. All streets run straight from west to east, and all avenues run straight from south to north. The distance between neighboring streets and between neighboring avenues is exactly 100 meters.

Every street intersects every avenue. Every intersection can be described by pair (x, y), where x is avenue ID and y is street ID.

There are N fountains in the city, situated at intersections (X_i, Y_i). Unlike normal intersections, there's a circle with radius 10 meters centered at the intersection, and there are no road parts inside this circle.

The picture below shows an example of how a part of the city with roads and fountains may look like.

1f931bf0c98ec6f07e612b0282cdb094.png

City governors don't like encountering more than one fountain while moving along the same road. Therefore, every street contains at most one fountain on it, as well as every avenue.

Citizens can move along streets, avenues and fountain perimeters. What is the shortest distance one needs to cover in order to get from intersection (x_1, y_1) to intersection (x_2, y_2)?

Constraints

  • 0 \leq x_1, y_1, x_2, y_2 < 10^8
  • 1 \leq N \leq 200,000
  • 0 \leq X_i, Y_i < 10^8
  • X_i \neq X_j for i \neq j
  • Y_i \neq Y_j for i \neq j
  • Intersections (x_1, y_1) and (x_2, y_2) are different and don't contain fountains.
  • All input values are integers.

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

x_1 y_1 x_2 y_2
N
X_1 Y_1
X_2 Y_2
:
X_N Y_N

Output

Print the shortest possible distance one needs to cover in order to get from intersection (x_1, y_1) to intersection (x_2, y_2), in meters. Your answer will be considered correct if its absolute or relative error doesn't exceed 10^{-11}.

Sample Input 1

1 1 6 5
3
3 2
5 3
2 4

Sample Output 1

891.415926535897938

One possible shortest path is shown on the picture below. The path starts at the blue point, finishes at the purple point and follows along the red line.

c49e52b9b79003f61b8a6efa5dad8ba3.png

Sample Input 2

3 5 6 4
3
3 2
5 3
2 4

Sample Output 2

400.000000000000000
f9090ab734c89424c413f3b583376990.png

Sample Input 3

4 2 2 2
3
3 2
5 3
2 4

Sample Output 3

211.415926535897938
4b76416161f27cad20333a9ac636e00f.png