(より詳しい解説は後日ブログで公開します)

ある回転によって点 \((A,B,C), (D,E,F), (G,H,I)\) がそれぞれ点 \(u, v, w\) に移ったとすると，平行六面体の点集合は \(\{ru + sv + tw \mid r, s, t \in [0,1] \}\) と表せます．\(u, v, w\) の \(z\) 座標をそれぞれ \(z_u, z_v, z_w\) とすると，\(rz_u + sz_v + tz_w\) の最大値・最小値は \(r, s, t\) をそれぞれ \(z_u, z_v, z_w\) の符号によって \(0\) か \(1\) かに決めたときにとります．よって高さは \(\lvert z_u \rvert + \lvert z_v \rvert + \lvert z_w \rvert\) となります．

図形的には，\(z\) 座標が最小の頂点から最大の頂点まで，平行六面体の \(3\) 種類の辺をちょうど \(1\) 回ずつ \(z\) 座標が増える向きに辿って行くことができる，ということです．

よって，期待値の線型性により，線分をランダムに回転させたときの高さの期待値がわかればよいです．これは線分の長さに比例します．その比例定数は積分計算をすればわかりますが，サンプルからも \(\dfrac12\) であるとわかります．