(より詳しい解説は後日ブログで公開します)

作られるグラフは頂点数と辺数が一定の平面グラフなので，Euler の公式より連結成分数の最小・最大は面数の最小・最大に対応します．

面数を最小にするには，例えば各マスに ＼ を書けば外面のみになるのでよいです．

面数の最大値を考えます．\(M = 1\) または \(N = 1\) のときは外面のみになります．\(M, N \ge 2\) のとき，外周にあるマスに書く辺は高々 \(1\) 個，その他のマスに書く辺は高々 \(2\) 個の内面に寄与できることと，各内面は \(4\) 辺以上に囲まれることを用いると，内面の個数が \(\lfloor \frac14 (M N + (M - 2) (N - 2)) \rfloor\) 以下であることがわかります．

この内面数は，例えば \(i\) 行 \(j\) 列のマスには \(i + j\) が偶数のとき ／，奇数のとき ＼ を書けば実現できます．