以下，問題文中の条件を，上から順に \(1\) つ目，\(2\) つ目，\(3\) つ目の条件と呼びます．

\(K = 1\) の場合には，条件を満たす \(P\) は存在しません．\(P\) の項は全て異なるため，\(P_i = 1, P_{i + 1}=1, P_{i+2} = 1\) のいずれかが成り立つ場合に，\(P_i, P_{i+1}, P_{i+2}\) を \(3\) 辺とする非退化な三角形が存在せず， \(3\) つ目の条件を満たさないためです．

\(K=2\) の場合には，条件を満たす \(P\) を必ず構成することができます．以下ではそれを示します．

\(k\) を \(2 \leq k \leq N\) を満たす整数とし，整数列 \(Q\) を，\(Q = (2, 3, \dots, k, N + 1, N, \dots, k + 1)\) のように定めます．このとき，整数列 \(Q\) の最長増加部分列の長さは \(k \) となります．このようにして定められた整数列 \(Q\) は，明らかに \(1\) つ目の条件を満たします．

ここで，\(k\) が \(k = 2\) または \(k - 1 + k > N + 1\) を満たす場合には，\(Q\) は \(3\) つ目の条件を満たします．したがって，\(L > \dfrac{N}{2} + 1\) の場合には，\(P\) を，\(Q\) において \(k = L\) とすることで得られる整数列が条件を満たします．

また，整数列 \(Q'\) を，\(Q\) を反転させて得られる整数列とします．すなわち \(Q' = (k + 1, \dots, N, N + 1, k, \dots, 3, 2)\) とします．このとき，整数列 \(Q'\) の最長増加部分列の長さは \(N+1-k\) となります．したがって，\(L < \dfrac{N}{2}\) の場合には，\(P\) を，\(Q'\) において \(k = N + 1 - L\) とすることで得られる整数列が条件を満たします．

これらの方法で，多くの場合については構成可能です．構成できないのは \(\dfrac{N}{2} \leq L \leq \dfrac{N}{2} + 1\) の場合ですが，この場合は整数列 \(Q, Q'\) の代わりに，整数列 \(R = (3, 4, \dots, k, N + 1, N, \dots, k + 1, 2)\) および整数列 \(R' = (2, k + 1, \dots, N, N + 1, k, \dots, 4, 3)\) を考えることで上手くいきます．

例として，\(N = 8\) の場合の，\(L\) の値に対応する \(P\) を示します．

• \(L = 1\) の場合：\(P = (9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2)\)
• \(L = 2\) の場合：\(P = (8, 9, 7, 6, 5, 4, 3, 2)\)
• \(L = 3\) の場合：\(P = (7, 8, 9, 6, 5, 4, 3, 2)\)
• \(L = 4\) の場合：\(P = (2, 7, 8, 9, 6, 5, 4, 3)\)
• \(L = 5\) の場合：\(P = (3, 4, 5, 6, 9, 8, 7, 2)\)
• \(L = 6\) の場合：\(P = (2, 3, 4, 5, 6, 9, 8, 7)\)
• \(L = 7\) の場合：\(P = (2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 8)\)
• \(L = 8\) の場合：\(P = (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)\)

\(K \geq 3\) の場合には，\(K = 2\) の場合に構成した \(P\) の各要素に \(K - 2\) を加えることで，条件を満たす \(P\) を得られます．