$P$に含まれる$n$個の点の絶対座標を反時計回りに$\vec{P_1}, \vec{P_2}, \cdots, \vec{P_n}$、$Q$に含まれる$m$個の点の絶対座標を反時計回りに$\vec{Q_1}, \vec{Q_2}, \cdots, \vec{Q_m}$とします。
ここでは簡単のため、$\vec{p_i}=\vec{P_{i+1}}-\vec{P_i}$（ただし、$\vec{P_{N+1}}=\vec{P_1}$）とします。同様に、$\vec{q_i}=\vec{Q_{i+1}}-\vec{Q_i}$とします。

次に、ある有限個の点集合$A=\{\vec{A_i}\}$の凸包$f(A)$の性質を考えます。任意の$\theta \in [0,2\pi)$において、偏角が$\theta$である単位ベクトルを$\vec{e_\theta}$とします。すべての$i$について$\vec{A_i}$を$\vec{e_\theta}$に射影したときのベクトルは、ある実数$k_i$を用いて$k_i \vec{e_\theta}$と書けます。$k_i$の値が最大となる$i$であるとき、$\vec{A_{i}}$が$\partial f(A)$上に存在します。

これを今回の$P$と$Q$、及び$M$についても考えます。$P$の各点$\vec{P_i}$、$Q$の各点$\vec{Q_j}$をそれぞれ$\vec{e_\theta}$に射影し、そのベクトルをそれぞれ実数$a_i$、$b_j$を用いて$a_i\vec{e_\theta}$、$b_j\vec{e_\theta}$とします。 また、$M$に含まれる各点$\vec{P_i}+\vec{Q_j}$を$\vec{e_\theta}$に射影し、そのベクトルを実数$c_{i,j}$を用いて$c_{i,j} \vec{e_\theta}$と表記します。この時、射影の定義から、$c_{i,j}=a_i+b_j$が成り立つことがわかります。よって、$c_{i,j}$を最大化するには、$a_i$が最大となる$i$、$b_j$が最大となる$j$をそれぞれ使うのが最適であることがわかります。

$a_i$を最大化する$i$は、各$\vec{p_i}$の向きに注目することで求めることができます。具体的には、内積を用いて、$\vec{p_i} \cdot \vec{e_\theta}>0$と$\vec{p_j} \cdot \vec{e_\theta} \le 0$となる$i$を使えばよいです。$b_j$を最大化する$j$についても同様の方法で求められます。この$(i,j)$のペアは$\theta$に依存しますが、$0 \leq \theta \leq 2 \pi$の範囲で$i$は$n$回、$j$は$m$回変化するため、$(i,j)$ペアは高々$n+m$個しか存在しないことがわかります。また、各$(i,j)$ペアにおいて、$c_{i,j}$が最大となるような$\partial f(M)$上の頂点は、$\vec{A_i} + \vec{B_j}$です。

まとめると、$\partial f(M)$上の頂点は、ある$\theta$から導かれる$c_{i,j}$が最大となるような$i,j$があって、$\vec{A_i} + \vec{B_j}$のようにあらわせることがわかりました。$(i,j)$ペアの組み合わせは$n+m$通りあることから、$\partial f(M)$も$n+m$角形です。そして、$\vec{A_i} + \vec{B_j} = \sum_{n=1}^{i+j} \vec{r_n}$より、この手順で求めた$\vec{r_1}, \vec{r_2}, \cdots, \vec{r_{n+m}}$は求める多角形であることがわかります。