※より直截に公式解説から書き換えを行っただけで、本質的な中身は変わりません。

　まず \(P\equiv1\pmod{4}\) であることから、平方剰余の相互法則の第1補充法則より \(t\equiv-1\pmod{P}\) なる整数 \(t\) がとれることに留意してください。具体的には \(t=139302\) などとすればよいです。このとき、以下のように表せます。

\[ (S_{x}-x_{i})^2+(S_{y}-y_{i})^2\equiv \bigl((S_{x}-x_{i})+t(S_{y}-y_{i})\bigr)\bigl((S_{x}-x_{i})-t(S_{y}-y_{i})\bigr) \pmod{P} \]

すなわち、

\[A_{S}=S_{x}+tS_{y},\ A_{S}'=S_{x}-tS_{y},\ B_{i}=x_{i}+ty_{i},\ B_{i}'=x_{i}-ty_{i}\]

とおき、多項式 \(g,h\in\mathbb{Z}[x]\) を

\[\displaystyle g(x)=\prod_{i=1}^{N}(x-B_{i}),\ h(x)=\prod_{i=1}^{N}(x-B'_{i})\]

と定めれば以下が成立します。

\[ f(S)\equiv\prod_{i=1}^{N}(A_{S}-B_{i})(A_{S}'-B_{i}')=g(A_{S})h(A_{S}') \pmod{P} \]

ここで、対応 \(\ (S_{x},S_{y})\mapsto(A_{S},A_{S}')\) を \((\mathbb{Z}/P\mathbb{Z})^2\) から自身への写像とみなせば、これは全単射なので、あとは公式解説と同様に問題を言い換えられます。