\(N\) が奇数の場合

先手必勝です．先手が最初の手番で，最小値を \(0\) にするような操作をすれば，それ以降の各プレイヤーの手番では，石が \(1\) 個以上残っている山を選んで石をすべて取り除くことしかできないからです．

\(N\) が偶数の場合

奇数のときと同様に考えると，最初に最小値を \(0\) にしたプレイヤーが負けることがわかります．また，すべての山に石が \(1\) 個だけ残っている状態で相手に渡せば勝つことができます．よって，この状態はすべての山から \(1\) 個の石を取り除いた状態と等価であることがわかります．この性質により，以下のようにして勝敗の判定ができます．

• \(m\) を残りの石の個数の最小値とする．石が \(m+1\) 個以上残っている山の個数を \(k\) として， \(k\) が奇数なら先手必勝，偶数なら後手必勝