列 \(i\) に並んでいる人数が \(A_i\) 人であるとして，\(X = \displaystyle\sum_{i=0}^{N-1} 2^iA_i\) という値を考えます．

ある列 \(l\) にいる選手 \(2\) 人が試合をし，勝った方が列 \(l+1\) に，負けた方が列 \(0\) に並ぶと，\(X\) の値は \(2^{l+1} + 2^0 - 2^l - 2^l = 1\) だけ増加します．よって，\(X\) の増加量が試合の回数に一致します．

最初，\(X = N\) です．また，どの列にもちょうど \(1\) 人が並んでいるとき \(X = \displaystyle\sum_{i=0}^{N-1} 2^i = 2^N-1\) なので，行われる試合の回数は \(2^N-N-1\) です．