D - Knapsack Queries on a tree 解説 /

実行時間制限: 3 sec / メモリ制限: 1024 MB

配点 : 700 点

問題文

N 頂点からなる根付き二分木があり、各頂点には 1 から N までの番号がついています。 頂点 1 が根であり、頂点 i (i \geqq 2) の親は頂点 \left[ \frac{i}{2} \right] です。

各頂点には 1 つのアイテムがあります。頂点 i にあるアイテムの価値は V_i であり、重さは W_i です。 そこで、次のクエリに Q 回答えてください。

  • 二分木の頂点 v 及び正の整数 L が与えられる。 v 及び v の先祖にあるアイテムを、重さの合計が L 以下となるようにいくつか（0 個でもよい）選ぶ。 このとき、選んだアイテムの価値の総和の最大値を求めよ。

ただし、頂点 u が頂点 v の先祖であるとは、頂点 u が頂点 v の間接的な親である、つまり、 w_1=v、w_k=u、さらに各 i について w_{i+1} が w_i の親となるような頂点の列 w_1,w_2,\ldots,w_k (k\geqq 2) が存在することを指します。

制約

  • 1 \leqq N < 2^{18}
  • 1 \leqq Q \leqq 10^5
  • 1 \leqq V_i \leqq 10^5
  • 1 \leqq W_i \leqq 10^5
  • 各クエリで指定される v, L は 1 \leqq v \leqq N, 1 \leqq L \leqq 10^5 を満たす。
  • 入力で与えられる値はすべて整数である。

入力

i 回目のクエリで指定される v, L をそれぞれ v_i, L_i とする。 このとき、入力は以下の形式で標準入力から与えられる。

N
V_1 W_1
:
V_N W_N
Q
v_1 L_1
:
v_Q L_Q

出力

1 から Q までの各整数 i について、 i 回目のクエリに対する答えを i 行目に出力せよ。

入力例 1

3
1 2
2 3
3 4
3
1 1
2 5
3 5

出力例 1

0
3
3

最初のクエリでは、選ぶことのできるアイテムは (V,W)=(1,2) なるアイテムのみであるので、 L=1 より 1 つもアイテムを選ぶことができません。 したがって、答えは 0 になります。

一方で 2 番目のクエリでは、選ぶことのできるアイテムは (V,W)=(1,2) なるアイテムと (V,W)=(2,3) なるアイテムの 2 つであり、 L=5 より両方を選ぶことができます。 したがって、答えは 3 になります。

入力例 2

15
123 119
129 120
132 112
126 109
118 103
115 109
102 100
130 120
105 105
132 115
104 102
107 107
127 116
121 104
121 115
8
8 234
9 244
10 226
11 227
12 240
13 237
14 206
15 227

出力例 2

256
255
250
247
255
259
223
253

Score : 700 points

Problem Statement

We have a rooted binary tree with N vertices, where the vertices are numbered 1 to N. Vertex 1 is the root, and the parent of Vertex i (i \geq 2) is Vertex \left[ \frac{i}{2} \right].

Each vertex has one item in it. The item in Vertex i has a value of V_i and a weight of W_i. Now, process the following query Q times:

  • Given are a vertex v of the tree and a positive integer L. Let us choose some (possibly none) of the items in v and the ancestors of v so that their total weight is at most L. Find the maximum possible total value of the chosen items.

Here, Vertex u is said to be an ancestor of Vertex v when u is an indirect parent of v, that is, there exists a sequence of vertices w_1,w_2,\ldots,w_k (k\geq 2) where w_1=v, w_k=u, and w_{i+1} is the parent of w_i for each i.

Constraints

  • All values in input are integers.
  • 1 \leq N < 2^{18}
  • 1 \leq Q \leq 10^5
  • 1 \leq V_i \leq 10^5
  • 1 \leq W_i \leq 10^5
  • For the values v and L given in each query, 1 \leq v \leq N and 1 \leq L \leq 10^5.

Input

Let v_i and L_i be the values v and L given in the i-th query. Then, Input is given from Standard Input in the following format:

N
V_1 W_1
:
V_N W_N
Q
v_1 L_1
:
v_Q L_Q

Output

For each integer i from 1 through Q, the i-th line should contain the response to the i-th query.

Sample Input 1

3
1 2
2 3
3 4
3
1 1
2 5
3 5

Sample Output 1

0
3
3

In the first query, we are given only one choice: the item with (V, W)=(1,2). Since L = 1, we cannot actually choose it, so our response should be 0.

In the second query, we are given two choices: the items with (V, W)=(1,2) and (V, W)=(2,3). Since L = 5, we can choose both of them, so our response should be 3.

Sample Input 2

15
123 119
129 120
132 112
126 109
118 103
115 109
102 100
130 120
105 105
132 115
104 102
107 107
127 116
121 104
121 115
8
8 234
9 244
10 226
11 227
12 240
13 237
14 206
15 227

Sample Output 2

256
255
250
247
255
259
223
253