正ならば FirstBlue 君が有利、負ならば SecondRed 君が有利、$0$ ならば FirstBlue 君と SecondRed 君は対等として、ゲームの局面を実数で評価することを考えます。この評価値を、そのゲームの値と呼ぶことにします。

ある局面 $G$ から、FirstBlue 君は値がそれぞれ $B_1, B_2, \ldots , B_n\ (B_1 < B_2 < \cdots < B_n)$ である局面に、SecondRed 君は値がそれぞれ $R_1, R_2, \ldots , R_m\ (R_1 < R_2 < \cdots < R_m)$ である局面に遷移可能であるとします。

$G$ の値を $V$ とします。このとき、$V > B_n$ であるべきです。遷移後の局面は、FirstBlue 君が操作可能な辺が減ることになるので、より悪い局面になったといえるからです。同様にして、$V < R_1$ もいえます。

よって $B_n < V < R_1$ がいえました。

簡単のため、ある局面の値を、その局面から FirstBlue 君が遷移可能な局面の値のうち最大のものを $B$、SecondRed 君が遷移可能な局面の値のうち最小のものを $R$ として、$\{B \mid R\}$ と表すことにします。

頂点 $1$ のみの局面は、FirstBlue 君が遷移可能な局面も SecondRed 君が遷移可能な局面もないため、$\{\ \mid \ \}$ とすることにします。また、FirstBlue 君も SecondRed 君も操作できないため、値は $0$ であるべきです。よって、$\{\ \mid \ \} \stackrel{\mathrm{def}}{=} 0$ とします。

$2$ 頂点からなり、それらを結ぶ辺が青色である木の局面を考えます。この局面の値は $\{0\mid \ \}$ です。これは $0$ より大きいです。そこで、$\{0\mid \ \} \stackrel{\mathrm{def}}{=} 1$ とします。一般に、$\forall n \in \mathbb{Z},\ \{n\mid \ \} \stackrel{\mathrm{def}}{=} n+1$ とします。 同様にして、$\forall n \in \mathbb{Z},\ \{\ \mid n\} \stackrel{\mathrm{def}}{=} n-1$ とします。

ここで、図 $1$ の局面の値を考えます。図 $2$ の局面（サンプル $1$ の $2$ 個目のゲームと一緒です）に注目します。この局面は後手必勝、すなわち FirstBlue 君が先手の場合は SecondRed くんの勝ち、SecondRed 君が先手の場合は FirstBlue 君の勝ちであることが実験によりわかります。もとの問題では先手は必ず FirstBlue 君でしたが、ここでは SecondRed 君が先手の場合も考慮していることに注意してください。

図 $2$ の局面の値は、この局面が後手必勝であることを考えると、$0$ であるべきです。

図 $2$ の局面は、図 $3$ の $3$ 個の局面が組み合わさってできたものだと考えることができます。図 $3$ の $3$ つの局面のうち、右の局面の値は $-1$ であり、真ん中と左の局面（図 $1$ の局面と同じです）の値は同じです。

このとき、$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + (-1) = 0$ より、図 $1$ の局面の値は $\dfrac{1}{2}$ であってほしいです。そして、図 $1$ の局面の値は $\{0\mid 1\}$ と表され、$0 < \dfrac{1}{2} < 1$ が成り立つので、こう定義してよいです。よって $\{0\mid 1\} \stackrel{\mathrm{def}}{=} \dfrac{1}{2}$ とします。

一般化しましょう。ある局面の値 $\{B\mid R\}$ の値を次のように定義します:

• $\{B\mid R\} \stackrel{\mathrm{def}}{=} B < \dfrac{i}{2^j} < R,\ i \in \mathbb{Z},\ j \in \mathbb{Z_{\geq0}}$ を満たす $\dfrac{i}{2^j}$ のうち、$j$ が最も小さいもののなかで、$|i|$ が最も小さいもの

上で行った議論と似たような議論により定義される数は、一般に超現実数と呼ばれ、組み合わせゲームを解析する上で典型的な手法です。超現実数は、実数と同じような扱い（四則演算、順序関係など）ができることが知られています。なお、上で行った議論による定義は、一般的な超現実数の定義とは異なる点に注意してください。

もとの根付き木を $G$ とする。

$G$ の頂点数に関する帰納法で示す。

$f(x) = \dfrac{x+k}{2^{k-1}}$ (ただし、$k$ は $x+k \geq 1$ を満たす最小の正整数)、$x = \{B \mid R\} = \dfrac{a}{2^b}\ (a \in \mathbb{Z},\ b \in \mathbb{Z_{\geq 0}})$ とする。

$G$ が $1$ 頂点のとき、$x' = \{0 \mid \ \} = 1$ であり、$f(x) = f(0) = \dfrac{0+1}{2^{1-1}} = 1$ より成り立つ。

$G$ が $N-1$ 頂点のときに示されたと仮定して、$G$ が $N$ 頂点のときを示す。

$(\mathrm{i})\ b \ne 0$

$x = \{B \mid R\} = \dfrac{a}{2^b}$ より、
$B < \dfrac{a}{2^b} < R$
$b \ne 0$ と超現実数の定義より、
$\dfrac{a-1}{2^b} \leq B < \dfrac{a}{2^b} < R \leq \dfrac{a+1}{2^b}$
$f(x)$ は狭義単調増加関数であることから、
$f\left(\dfrac{a-1}{2^b}\right) \leq f(B) < f\left(\dfrac{a}{2^b}\right) < f(R) \leq f\left(\dfrac{a+1}{2^b}\right)$
$k$ を $\dfrac{a}{2^b} + k \geq 1$ を満たす最小の正整数と定めると、$b \ne 0$ であることから、
$\dfrac{\dfrac{a-1}{2^b}+k}{2^{k-1}} \leq \dfrac{B+k}{2^{k-1}} < \dfrac{\dfrac{a}{2^b}+k}{2^{k-1}} < \dfrac{R+k}{2^{k-1}} \leq \dfrac{\dfrac{a+1}{2^b}+k}{2^{k-1}}$
帰納法の仮定より、$x' = \{f(B) \mid f(R)\}$ であることから、
$x' = \dfrac{\dfrac{a}{2^b}+k}{2^{k-1}} = f\left(\dfrac{a}{2^b}\right)$

$(\mathrm{ii})\ b = 0$

$\mathrm{i})\ a = 0$

$x = \{B \mid R\} = 0$ より、
$B < 0 < R$
$f(x)$ は狭義単調増加関数であることから、
$f(B) < f(0) < f(R)$
帰納法の仮定より、$0 < f(B) < 1, f(R) > 1, x' = \{f(B) \mid f(R)\}$ であることから、
$x' = 1 = \dfrac{1+1}{2^{1 - 1}} = f(0)$

$\mathrm{ii})\ a > 0$

$x = \{B \mid R\} = a$ より、
$B < a < R$
このとき、
$a-1 \leq B < a < R$
$f(x)$ は狭義単調増加関数であることから、
$f(a-1) \leq f(B) < f(a) < f(R)$
$k$ を $a + k \geq 1$ を満たす最小の正整数と定めると、$a > 0$ より $k = 1$ である。
$a \leq f(B) < a+1 < f(R)$
帰納法の仮定より、$x' = \{f(B) \mid f(R)\}$ であることから、
$x' = a+1 = \dfrac{a + 1}{2^{1 - 1}} = f(a)$

$\mathrm{iii})\ a < 0$

$x = \{B \mid R\} = a$ より、
$B < a < R$
このとき、
$B < a < R \leq a+1$
$f(x)$ は狭義単調増加関数であることから、
$f(B) < f(a) < f(R) \leq f(a+1)$
$k$ を $a + k \geq 1$ を満たす最小の正整数と定めると、$k = 1-a$ である。
$f(B) < \dfrac{1}{2^{k-1}} < f(R) \leq \dfrac{1}{2^{k-2}}$
帰納法の仮定より、$x' = \{f(B) \mid f(R)\}$ であることから、
$x' = \dfrac{1}{2^{k-1}} = f(a)$