串を指す座標 \(x\) を固定したときのコスト \(f ( x )\) は、お肉ごとに独立に考えたコスト \(f _ i ( x ) \ ( 1 \le i \le N )\) の和になっています。\(x\) は \(- L\) から \(2 L\) までの間を探せばよいです。

あとはこの \(N\) 個の関数 \(f _ i\) の各座標における値をそれぞれ明示的に計算すればよく、これは二次関数族の minimum ですから、スタックを使って左からなめるなどして不要なものを消すことで計算できます。