\(f(x) = ax^5 + bx + c\) とおくと、\(f'(x) = 5ax^4 + b\) であり、\(1 \lt x \lt 2\) において \(f'(x)\) は常に正です。
すなわち、\(1\lt x\lt 2\) において \(f(x)\) は単調に増加します。
よって、\(1\lt x \lt 2\) に解を \(1\) つ持つという条件から、\(f(1)\lt 0 \lt f(2)\) がいえます。

ここで、以下の判定問題を考えます。

\(f(x) \leq 0\) か？

この判定問題には単調性があるので、二分探索を用いることができます。

以上でこの問題を解くことができました。