まず、グリッドを \(90\) 度回転させます。 \(C\) を \(90\) 度回転させたグリッド \(B\) は \(B_{i,j}=C_{n-1-j,i}\) を満たすので、この式に基づいて二重 for 文を回せば良いです。

単純にグリッドを \(90\) 度回転させただけだと文字が \(90\) 度回転させる前のものと同じだけなので、 \(90\) 度回転させた後に v,<,^,> をそれぞれ <,^,<,v に置き換えれば良いです。

実装例(Python3)

n = int(input())
c = [input() for _ in range(n)]
b = [[c[n - 1 - j][i] for j in range(n)] for i in range(n)]
mp = {"v": "<", "<": "^", "^": ">", ">": "v"}
for bb in b:
    s = ""
    for c in bb:
        s += mp[c]
    print(s)