集合 \(A\) が条件を満たす必要条件として、\(\displaystyle \left\lfloor \frac{N}{2} \right\rfloor\) より大きい整数は \(N\) 以下の自分の倍数が自分自身しかないため全て含まれている必要があります。

逆に、その条件を満たしている場合 \(\displaystyle \left\lfloor \frac{N}{2} \right\rfloor\) 以下の整数に対する条件を満たすことを容易に確認できます。

ここで、集合 \(A\) に含まれない要素について考えます。これは上記より \(\displaystyle \left\lfloor \frac{N}{2} \right\rfloor\) 以下の値から \(N-K\) 個選ぶことになります。

よって、解は \(\displaystyle \binom{\left\lfloor \frac{N}{2} \right\rfloor}{N-K}\) となります。

以上より、本問題を \(\mathrm{O}(N)\) で解くことができます。