\(a,b,c,d\) の取り得る値に関する母関数を \(A(x),B(x),C(x),D(x)\) とすると、それぞれの母関数は次式で表せます。

\[A(x) = 1 + x\]

\[B(x) = 1 + x + x^2\]

\[C(x) = \sum_{i=0}^\infty (x^2)^i = \frac{1}{1-x^2}\]

\[D(x) = \sum_{i=0}^\infty (x^3)^i = \frac{1}{1-x^3}\]

よって、\(a+b+c+d\) の母関数はこれらの積となり、

\[ \begin{aligned} &A(x)B(x)C(x)D(x) \\ &= (1+x)(1+x+x^2)\frac{1}{1-x^2}\times\frac{1}{1-x^3} \\ &= (1+x)(1+x+x^2)\frac{1}{(1-x)(1+x)}\times\frac{1}{(1-x)(1+x+x^2)} \\ &= \frac{1}{(1-x)^2} \end{aligned} \]

となります。よって求めたいものは

\[[x^N] \frac{1}{(1-x)^2}\]

です。

\[[x^n] \frac{1}{(1-x)^r} = \binom{n+r-1}{r-1}\]

という公式を用いると、答えは

\[[x^N] \frac{1}{(1-x)^2} = \binom{N+2-1}{2-1} = N+1\]

となります。