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配点 : 1000 点
問題文
以下のようなゲームを考えます。
- 1 列に並んだ N 個のマスとたくさんの石を用意する。
- 最初に、マス i\ (1 \leq i \leq N) に a_i 個の石を入れる。
- プレイヤーは「ちょうど i 個の石が入っているようなマス i を 1 つ選び、そこに入っている石を全て捨て、マス 1 からマス i-1 までの i-1 個のマスに石を 1 つずつ追加する」という操作を好きなだけ行う。
- 最終的にマスに残った石の個数の合計がスコアとなる。
長さ N の数列 a に対してこのゲームを行ったときのスコアとして考えられる最小値を f(a) とします。
このとき、長さが N で各要素が 0 以上 K 以下であるような全ての数列 a についての f(a) の総和はいくつになるでしょうか？ 答えは非常に大きくなる可能性があるため、1000000007 (= 10^9+7) で割った余りを求めてください。
制約
- 1 \leq N \leq 100
- 1 \leq K \leq N
入力
入力は以下の形式で標準入力から与えられる。
N K
出力
f(a) の総和を 1000000007 (= 10^9+7) で割った余りを出力せよ。
入力例 1
2 2
出力例 1
10
長さが 2 で各要素が 0 以上 2 以下であるような数列 a は 9 通り考えられますが、それぞれに対する f(a) の値とそれを達成するための操作の例は以下の通りです。
- f(\{0,0\})：0（なにも操作できない）
- f(\{0,1\})：1（なにも操作できない）
- f(\{0,2\})：0（マス 2 、マス 1 の順に操作する）
- f(\{1,0\})：0（マス 1 を選ぶ）
- f(\{1,1\})：1（マス 1 を選ぶ）
- f(\{1,2\})：0（マス 1 、マス 2 、マス 1 の順に操作する）
- f(\{2,0\})：2（なにも操作できない）
- f(\{2,1\})：3（なにも操作できない）
- f(\{2,2\})：3（マス 2 を選ぶ）
入力例 2
20 17
出力例 2
983853488
Score : 1000 points
Problem Statement
Consider the following game:
- The game is played using a row of N squares and many stones.
- First, a_i stones are put in Square i\ (1 \leq i \leq N).
- A player can perform the following operation as many time as desired: "Select an integer i such that Square i contains exactly i stones. Remove all the stones from Square i, and add one stone to each of the i-1 squares from Square 1 to Square i-1."
- The final score of the player is the total number of the stones remaining in the squares.
For a sequence a of length N, let f(a) be the minimum score that can be obtained when the game is played on a.
Find the sum of f(a) over all sequences a of length N where each element is between 0 and K (inclusive). Since it can be extremely large, find the answer modulo 1000000007 (= 10^9+7).
Constraints
- 1 \leq N \leq 100
- 1 \leq K \leq N
Input
Input is given from Standard Input in the following format:
N K
Output
Print the sum of f(a) modulo 1000000007 (= 10^9+7).
Sample Input 1
2 2
Sample Output 1
10
There are nine sequences of length 2 where each element is between 0 and 2. For each of them, the value of f(a) and how to achieve it is as follows:
- f(\{0,0\}): 0 (Nothing can be done)
- f(\{0,1\}): 1 (Nothing can be done)
- f(\{0,2\}): 0 (Select Square 2, then Square 1)
- f(\{1,0\}): 0 (Select Square 1)
- f(\{1,1\}): 1 (Select Square 1)
- f(\{1,2\}): 0 (Select Square 1, Square 2, then Square 1)
- f(\{2,0\}): 2 (Nothing can be done)
- f(\{2,1\}): 3 (Nothing can be done)
- f(\{2,2\}): 3 (Select Square 2)
Sample Input 2
20 17
Sample Output 2
983853488