F - Square 解説 /

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配点 : 900 点

問題文

高橋君は、N 行 N 列のマス目を持っています。マス目の上から i 番目、左から j 番目のマスは (i,j) で表されます。 特に、マス目の左上のマスは (1,1) であり、右下のマスは (N,N) です。

高橋君の持っているマス目のうち M 個のマスには、0 または 1 の整数が書き込まれています。 整数が書き込まれたマスのうち i 番目のマスの情報は 3 つの整数 a_i,b_i,c_i で表され、マス (a_i,b_i) に整数 c_i が書き込まれていることを表します。

高橋君は、以下の条件を満たすように残りのマスに 0 または 1 の整数を書き込むことにしました。 書き込み方としてありうるものの個数を 998244353 で割ったあまりを求めてください。

  • 任意の 1\leq i < j\leq N に対し、(i,i) を左上のマスとし (j,j) を右下のマスとするような正方形領域に書き込まれた 1 の個数が偶数である

制約

  • 2 \leq N \leq 10^5
  • 0 \leq M \leq min(5 \times 10^4,N^2)
  • 1 \leq a_i,b_i \leq N(1\leq i\leq M)
  • 0 \leq c_i \leq 1(1\leq i\leq M)
  • i \neq j ならば (a_i,b_i) \neq (a_j,b_j) である
  • 入力はすべて整数である

入力

入力は以下の形式で標準入力から与えられる。

N M
a_1 b_1 c_1
:
a_M b_M c_M

出力

書き込み方としてありうるものの個数を 998244353 で割ったあまりを出力せよ。

入力例 1

3 3
1 1 1
3 1 0
2 3 1

出力例 1

8

例えば、以下のような書き込み方が条件を満たします。

101   111
011   111
000   011

入力例 2

4 5
1 3 1
2 4 0
2 3 1
4 2 1
4 4 1

出力例 2

32

入力例 3

3 5
1 3 1
3 3 0
3 1 0
2 3 1
3 2 1

出力例 3

0

入力例 4

4 8
1 1 1
1 2 0
3 2 1
1 4 0
2 1 1
1 3 0
3 4 1
4 4 1

出力例 4

4

入力例 5

100000 0

出力例 5

342016343

Score : 900 points

Problem Statement

Takahashi has an N \times N grid. The square at the i-th row and the j-th column of the grid is denoted by (i,j). Particularly, the top-left square of the grid is (1,1), and the bottom-right square is (N,N).

An integer, 0 or 1, is written on M of the squares in the Takahashi's grid. Three integers a_i,b_i and c_i describe the i-th of those squares with integers written on them: the integer c_i is written on the square (a_i,b_i).

Takahashi decides to write an integer, 0 or 1, on each of the remaining squares so that the condition below is satisfied. Find the number of such ways to write integers, modulo 998244353.

  • For all 1\leq i < j\leq N, there are even number of 1s in the square region whose top-left square is (i,i) and whose bottom-right square is (j,j).

Constraints

  • 2 \leq N \leq 10^5
  • 0 \leq M \leq min(5 \times 10^4,N^2)
  • 1 \leq a_i,b_i \leq N(1\leq i\leq M)
  • 0 \leq c_i \leq 1(1\leq i\leq M)
  • If i \neq j, then (a_i,b_i) \neq (a_j,b_j).
  • All values in input are integers.

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

N M
a_1 b_1 c_1
:
a_M b_M c_M

Output

Print the number of possible ways to write integers, modulo 998244353.

Sample Input 1

3 3
1 1 1
3 1 0
2 3 1

Sample Output 1

8

For example, the following ways to write integers satisfy the condition:

101   111
011   111
000   011

Sample Input 2

4 5
1 3 1
2 4 0
2 3 1
4 2 1
4 4 1

Sample Output 2

32

Sample Input 3

3 5
1 3 1
3 3 0
3 1 0
2 3 1
3 2 1

Sample Output 3

0

Sample Input 4

4 8
1 1 1
1 2 0
3 2 1
1 4 0
2 1 1
1 3 0
3 4 1
4 4 1

Sample Output 4

4

Sample Input 5

100000 0

Sample Output 5

342016343