概要

この問題は、特定の条件（同じ文字が3つ以上連続しない）を満たす \(01\) 文字列を頂点とし、1文字だけ異なる文字列間に辺を張ったグラフ上でのシミュレーション問題です。頂点を辞書順（部屋番号）で管理し、常に「未訪問かつ最小の部屋番号」へ移動するルールに従って、目的の部屋 \(t\) に到達するまでの歩数を求めます。

考察

1. 有効な文字列の個数

一見すると、長さ \(N=26\) の \(01\) 文字列は \(2^{26} \approx 6.7 \times 10^7\) 通りあり、全探索は難しいように見えます。しかし、「同じ文字が3つ以上連続しない」という制約により、有効な文字列の数は大幅に制限されます。 この条件を満たす文字列の数は、フィボナッチ数列に似た遷移で増えていき、\(N=26\) の場合でも 392,836通り です。この程度の数であれば、全ての文字列を列挙し、グラフの頂点としてメモリに保持することが十分に可能です。

2. 部屋番号の決定

部屋番号は辞書順で決まります。そのため、再帰を用いた深さ優先探索（DFS）で 0 を優先して文字列を生成すれば、生成された順序がそのまま辞書順（部屋番号）になります。

3. 隣接リストの構築と移動ルール

各部屋から移動できる候補は、「1文字だけ反転させた文字列」かつ「条件を満たすもの」です。 シミュレーションでは「未訪問の隣接する部屋の中で、部屋番号が最小のもの」を選ぶ必要があります。あらかじめ各頂点の隣接リストを作成し、部屋番号の昇順にソートしておくことで、シミュレーション時に効率よく次の移動先を決定できます。

アルゴリズム

1. 文字列の列挙 (DFS) 再帰関数を用いて、条件を満たす全ての文字列を辞書順に生成します。各文字列はビット表現（整数）として保持し、リスト valid に格納します。
2. 高速な検索のためのハッシュマップ作成 ある文字列（ビット表現）が valid リストの何番目（部屋番号）にあるかを高速に引くために、ハッシュテーブル（または std::unordered_map 等）を構築します。
3. グラフの構築 各有効な文字列について、\(N\) 箇所のビットを反転させ、それが有効な文字列であるかを確認します。有効であれば、その部屋番号を隣接リストに追加します。追加後、各リストを昇順にソートします。
4. シミュレーション 出発点 \(s\) から開始し、以下の手順を繰り返します。
   • 現在の部屋の隣接リストを順に見て、最初に現れる「未訪問の部屋」を次の移動先に選ぶ。
   • 移動先を「訪問済み」にし、ステップ数をカウントする。
   • ターゲット \(t\) に到達すればステップ数を出力。
   • 移動できる未訪問の部屋がなくなれば \(-1\) を出力。

計算量

• 時間計算量: \(O(V \cdot N \log N)\)
  • \(V\) を有効な文字列の数（\(N=26\) で約 \(4 \times 10^5\)）とします。
  • 文字列の生成とハッシュテーブル構築に \(O(V)\)。
  • 各頂点から \(N\) 個のビット反転を試し、隣接リストをソートするのに \(O(V \cdot N \log N)\)。
  • シミュレーションは各辺を高々1回しか参照しないため \(O(V \cdot N)\)。
• 空間計算量: \(O(V \cdot N)\)
  • 隣接リストの保持に \(O(V \cdot N)\) のメモリを使用します。

実装のポイント

• ビット演算の活用: 文字列を std::string ではなく整数（int）で管理することで、メモリ節約と高速化（ビット反転 u ^ (1 << b) など）を図ります。

• 有効性の高速判定: 3ビット連続で同じ値が並んでいるかは、ビットシフトと論理積（AND）を組み合わせることで、ループを回さずに一括で判定できます。

• ハッシュテーブルの自作: C++の std::unordered_map は便利な反面、競プロの制約下では定数倍が重くなることがあるため、オープンアドレス法などを用いたシンプルなハッシュテーブルを自作するとより安全です。

  ソースコード

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <algorithm>

using namespace std;

/**
 * Problem: Museum Tour
 * Given binary strings of length N with no three consecutive identical characters.
 * Rooms are these strings in lexicographical order.
 * Two rooms are connected if they differ by exactly one character.
 * Traversal: Start at room s, move to the unvisited neighbor with the smallest room number.
 * Stop if no unvisited neighbors exist. Find moves to reach t.
 */

int N;
string s_str, t_str;
vector<int> valid;

// Function to generate all valid strings (no three consecutive identical characters)
// in lexicographical order.
void generate_valid(int current_val, int length, int last_bit, int count) {
    if (length == N) {
        valid.push_back(current_val);
        return;
    }
    // Try adding '0' (lexicographically smaller)
    if (last_bit == 0) {
        if (count < 2) generate_valid(current_val << 1, length + 1, 0, count + 1);
    } else {
        generate_valid(current_val << 1, length + 1, 0, 1);
    }
    // Try adding '1'
    if (last_bit == 1) {
        if (count < 2) generate_valid((current_val << 1) | 1, length + 1, 1, count + 1);
    } else {
        generate_valid((current_val << 1) | 1, length + 1, 1, 1);
    }
}

// Hash table for fast rank lookup (string bit-representation to index in 'valid' vector)
const int HASH_SIZE = 1 << 20;
int hash_key[HASH_SIZE];
int hash_val[HASH_SIZE];

void insert_hash(int key, int val) {
    unsigned int h = (unsigned int)key * 2654435761u;
    h &= (HASH_SIZE - 1);
    while (hash_key[h] != -1) {
        h = (h + 1) & (HASH_SIZE - 1);
    }
    hash_key[h] = key;
    hash_val[h] = val;
}

int query_hash(int key) {
    unsigned int h = (unsigned int)key * 2654435761u;
    h &= (HASH_SIZE - 1);
    while (hash_key[h] != -1) {
        if (hash_key[h] == key) return hash_val[h];
        h = (h + 1) & (HASH_SIZE - 1);
    }
    return -1;
}

// Fast check if a bit-representation string is valid (no 000 or 111)
bool is_valid_fast(int v) {
    if (N < 3) return true;
    // Check for three consecutive 1s
    if ((v & (v >> 1) & (v >> 2)) != 0) return false;
    // Check for three consecutive 0s
    unsigned int mask = (1U << N) - 1;
    unsigned int v_inv = (~(unsigned int)v) & mask;
    if ((v_inv & (v_inv >> 1) & (v_inv >> 2)) != 0) return false;
    return true;
}

// Max number of valid strings for N=26 is 392,836
vector<int> adj[400000];
bool visited[400000];

int main() {
    // Fast I/O
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    if (!(cin >> N >> s_str >> t_str)) return 0;

    // 1. Generate all valid strings
    generate_valid(0, 0, -1, 0);

    // 2. Build hash table for quick rank lookup
    for (int i = 0; i < HASH_SIZE; ++i) hash_key[i] = -1;
    for (int i = 0; i < (int)valid.size(); ++i) {
        insert_hash(valid[i], i);
    }

    // 3. Build adjacency list for each room
    for (int i = 0; i < (int)valid.size(); ++i) {
        int u = valid[i];
        for (int b = 0; b < N; ++b) {
            int v = u ^ (1 << b);
            if (is_valid_fast(v)) {
                int r = query_hash(v);
                if (r != -1) {
                    adj[i].push_back(r);
                }
            }
        }
        // Sort neighbors by their rank to facilitate greedy movement
        sort(adj[i].begin(), adj[i].end());
    }

    // 4. Convert start and target strings to ranks
    int val_s = 0, val_t = 0;
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        if (s_str[i] == '1') val_s |= (1 << (N - 1 - i));
        if (t_str[i] == '1') val_t |= (1 << (N - 1 - i));
    }

    int start_node = query_hash(val_s);
    int target_node = query_hash(val_t);

    // 5. Simulate the tour
    int current = start_node;
    visited[current] = true;
    int steps = 0;

    while (true) {
        if (current == target_node) {
            cout << steps << endl;
            return 0;
        }

        int next_node = -1;
        // Find the unvisited neighbor with the smallest room number (smallest rank)
        for (int neighbor : adj[current]) {
            if (!visited[neighbor]) {
                next_node = neighbor;
                break;
            }
        }

        // If no unvisited neighbors, the tour ends
        if (next_node == -1) {
            cout << -1 << endl;
            return 0;
        }

        // Move to the next room
        current = next_node;
        visited[current] = true;
        steps++;
    }

    return 0;
}

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