B - Union Find Editorial /

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問題文

この問題は、講座用問題です。ページ下部に解説が掲載されています。

N 頂点の、単純とは限らない無向グラフを考えます。 初期状態では、頂点のみが存在し、辺は全く存在せず、全ての頂点が孤立しているとします。 以下の 2 種類のクエリが、Q 回与えられます。

  • 連結クエリ： 頂点 A と、頂点 B を繋ぐ辺を追加します。
  • 判定クエリ： 頂点 A と、頂点 B が、連結であるかどうか判定します。連結であれば Yes、そうでなければ No を出力します。

クエリを順番に処理し、判定クエリへの回答を出力して下さい。 この際、同じ辺が何度も追加されることや、自分自身への辺が追加されることもある事に注意してください。

連結であるとは、頂点 A から頂点 B まで辺をたどって到達可能であることを意味します。 A と B が同じ頂点の場合、連結であると定義します。 グラフは無向であるため、連結クエリによって頂点 A, B 間の辺が追加されると、A から B へも B から A へも辿れるようになります。

入力

入力は以下の形式で標準入力から与えられる。

N Q
P_1 A_1 B_1
P_2 A_2 B_2
:
P_Q A_Q B_Q
  • 1 行目には、頂点の個数を表す整数 N (1≦N≦100,000) と、クエリの個数を表す整数 Q (1 ≦ Q ≦ 200,000) が、スペース区切りで与えられる。
  • 2 行目からの Q 行のうち i 行目には、i 番目のクエリの種類を表す整数 P_i (0 ≦ P_i ≦ 1) と、クエリの対象となる頂点の番号を表す整数 A_i, B_i (0 ≦ A_i, B_i ≦ N - 1) が、 スペース区切りで与えられる。
    • P_i = 0 の時、そのクエリが連結クエリであることを表す。
    • P_i = 1 の時、そのクエリが判定クエリであることを表す。

出力

各判定クエリに対し、出力をおこなって下さい。 毎回の出力の後に改行を行うこと。

解説

入力例1

8 9
0 1 2
0 3 2
1 1 3
1 1 4
0 2 4
1 4 1
0 4 2
0 0 0
1 0 0

出力例1

Yes
No
Yes
Yes

以下のような手順で実行されます。

  • 1 つ目のクエリで、頂点 1 と頂点 2 を繋ぎます。
  • 2 つ目のクエリで、頂点 3 と頂点 2 を繋ぎます。
  • 3 つ目のクエリで、頂点 1 と頂点 3 の連結判定を行います。連結しているので、Yesと出力します。
  • 4 つ目のクエリで、頂点 1 と頂点 4 の連結判定を行います。連結していないので、Noと出力します。
  • 5 つ目のクエリで、頂点 2 と頂点 4 を繋ぎます。
  • 6 つ目のクエリで、頂点 4 と頂点 1 の連結判定を行います。連結しているで、Yesと出力します。
  • 7 つ目のクエリで、頂点 4 と頂点 2 を繋ぎます。これらは既に繋がれていますが、多重辺が出来ることもあります。
  • 8 つ目のクエリで、頂点 0 と頂点 0 を繋ぎます。これらは同じ頂点ですが、自己ループが出来ることもあります。
  • 9 つ目のクエリで、頂点 0 と頂点 0 の連結判定を行います。同じ頂点は常に連結していると見做せるので、Yesと出力します。