A - All Winners

ヒント 1

すべての試合の当たりや結果を同時に考えようとすると大変です。当たりや結果は後から調整することにして、できるだけ矛盾しないように全勝する選手を増やすことを考えてみましょう。

ヒント 2

各チームから輩出できる全勝賞獲得選手の人数について考えてみましょう。

ヒント 3

各試合において負けた $M$ 人の選手は全勝賞が獲得できません。

ヒント 4

どの $2$ チームについても、そこから輩出される全勝賞獲得選手の人数の合計は $M$ 以下です。

ヒント 5

これを満たすように全勝賞獲得選手の人数の上限を考えてみましょう。その上限を達成するように勝敗を調整できればそれが答えです。

B - Swap If Equal Sum

ヒント 1

サンプルのケースで、実際にどのような操作が可能かを考えてみましょう。

ヒント 2

愚直コードを書いて、どんなときにダメかを実験してみるのも一つの手です。

ヒント 3

操作は逆順で行うことで数列を元に戻すことができます。

ヒント 4

$A$ → $X$、$X$ → $B$ と変更できるとき、$A$ → $X$ → $B$ とすることで $A$ を $B$ に一致できます。

ヒント 5

コーナーケース、例外に注意しましょう。

C - Destruction of Walls

ヒント 1

部屋を格子点、壁を辺として置き換えると考えやすく（見慣れている人が比較的多い図に）なります。

ヒント 2

左上の部屋から右下の部屋に移動するためには、少なくとも $H+W-2$ 個の壁を壊す必要があります。

ヒント 3

$K \lt H+W-2$ のときは条件を満たすことはできません。 $K=H+W-2$ のときは左上の部屋から右下の部屋への最短経路になるような壁を選ぶことが条件です。 $H+W-1 \leq K$ のときはどうでしょうか？

ヒント 4

$K=H+W-1$ のときは、$K=H+W-2$ のときに加えて余分な壁を $1$ つ選ぶことになります。 $K=H+W$ のときはどうでしょうか？

ヒント 5

• $H+W-2$ 個の壁で移動+余分な壁を $2$ つ選ぶパターン
• $H+W$ 個の壁で移動するパターン

を場合分けします。ダブルカウントされるものに気を付けましょう。

D - Insert XOR

ヒント 1

具体的に可能な操作を列挙してみましょう。

ヒント 2

$|B|$ の最小値をいきなり考えるのは難しいので、$A$ から要素を取り除いていってより短くすることを考えてみましょう。

ヒント 3

どうやっても取り除くことができない要素を考えてみましょう。

ヒント 4

クエリに対応するために管理するべき情報を整理しましょう。

E - Tile Grid with One Hole

ヒント 1

小さいケースで具体的に構成できないか考えてみましょう。

ヒント 2

$L=2$ の場合は、チェス盤のようにグリッドを白と黒で塗り分けると、不可能な条件が見えてきます。同様の発想で $3 \leq K$ のときを考えてみましょう。

ヒント 3

$h$ 行目のグリッドを色 $h \pmod L$ で塗って、$H$ が満たすべき条件を考えてみましょう。

ヒント 4

同様に考えて、$H,W,N,M,r,c$ が $L$ に対して満たすべき条件を絞ってみましょう。

ヒント 5

パターンが絞れたら、具体的な構成ができないか考えてみましょう。