両者が \(1\) 枚以上持っており、かつ、所持枚数が相手よりも少ない色を自分に有利な色と呼びます。
また、両者が \(1\) 枚以上持っており、かつ、両者の所持枚数が等しい色を互角な色と呼びます。

高橋君に有利、青木君に有利、互角な色の色数をそれぞれ \(A_{\mathrm{num}}, B_{\mathrm{num}}, C_{\mathrm{num}}\) とします。
また、高橋君に有利、青木君に有利、互角な色の \(\min \lbrace \) 高橋君の所持枚数, 青木君の所持枚数\( \rbrace\) の和をそれぞれ \(A_{\mathrm{sum}}, B_{\mathrm{sum}}, C_{\mathrm{sum}}\) とおきます。

下記の通り、\(C_{\mathrm{num}}\) で \(4\) つのケースに場合分けして勝敗を判定できることが、数学的帰納法によって証明できます。 なお、各ケースでは上の項目から優先的に適用します。

・\(C_{\mathrm{num}} = 0\) のとき

• \(A_{\mathrm{sum}} \geq B_{\mathrm{sum}}\) なら高橋君が、\(A_{\mathrm{sum}} \lt B_{\mathrm{sum}}\) なら青木君が勝ちます。

・\(C_{\mathrm{num}} = 1\) のとき

• \(A_{\mathrm{num}} = 2\) なら高橋君が、\(B_{\mathrm{num}}=2\) なら青木君が勝ちます。
• \(A_{\mathrm{sum}} - B_{\mathrm{sum}} \geq C_{\mathrm{sum}}\) なら高橋君が、\(A_{\mathrm{sum}} - B_{\mathrm{sum}} \leq -C_{\mathrm{sum}}\) なら青木君が勝ちます。
• \(A_{\mathrm{sum}} + B_{\mathrm{sum}} + C_{\mathrm{sum}}\) が奇数なら高橋君が、偶数なら青木君が勝ちます。

・\(C_{\mathrm{num}} = 2\) のとき

• \(A_{\mathrm{num}} = 1\) なら高橋君が、\(B_{\mathrm{num}} = 1\) なら青木君が勝ちます。
• \(C_{\mathrm{sum}}\) が奇数なら高橋君が、偶数なら青木君が勝ちます。

・\(C_{\mathrm{num}} = 3\) のとき

• \(C_{\mathrm{sum}}\) が偶数なら高橋君が、奇数なら青木君が勝ちます。