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配点 : 500 点
問題文
数列 P = (P_1, \ldots, P_N) に対し，その最長増加部分列の長さを \mathrm{LIS}(P) と書くことにします．
1 以上 N 以下の整数からなる順列 A = (A_1, \ldots, A_N) および B = (B_1, \ldots, B_N) が与えられます．これらの数列に対して，以下の操作を何度でも行うことができます（0 回でもよいです）．
- 1\leq i\leq N-1 となる整数 i をひとつ選ぶ．A_i と A_{i+1} をスワップし，B_i と B_{i+1} をスワップする．
操作結果の \mathrm{LIS}(A) + \mathrm{LIS}(B) としてありうる最大値を答えてください．
最長増加部分列とは
数列の部分列とは，数列から 0 個以上の要素を取り除いた後，残りの要素を元の順序で連結して得られる数列のことをいいます． 例えば，(10,30) は (10,20,30) の部分列ですが，(20,10) は (10,20,30) の部分列ではありません．
数列の最長増加部分列とは，数列の狭義単調増加な部分列のうち，長さが最大のもののことをいいます．
制約
- 2\leq N\leq 3\times 10^5
- 1\leq A_i\leq N
- 1\leq B_i\leq N
- i\neq j ならば A_i\neq A_j かつ B_i\neq B_j
入力
入力は以下の形式で標準入力から与えられます．
N A_1 \ldots A_N B_1 \ldots B_N
出力
操作結果の \mathrm{LIS}(A) + \mathrm{LIS}(B) としてありうる最大値を出力してください．
入力例 1
5 5 2 1 4 3 3 1 2 5 4
出力例 1
8
例えば次のように操作を行うことで，\mathrm{LIS}(A) + \mathrm{LIS}(B) = 8 を達成できます．
- i = 2 として操作を行う．A = (5,1,2,4,3), B = (3,2,1,5,4) となる．
- i = 1 として操作を行う．A = (1,5,2,4,3), B = (2,3,1,5,4) となる．
- i = 4 として操作を行う．A = (1,5,2,3,4), B = (2,3,1,4,5) となる．
このとき A は最長増加部分列 (1,2,3,4) を持ち，\mathrm{LIS}(A)=4 が成り立ちます．B は最長増加部分列 (2,3,4,5) を持ち，\mathrm{LIS}(B)=4 が成り立ちます．
入力例 2
5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
出力例 2
10
操作を 1 度も行わないことにより，\mathrm{LIS}(A) + \mathrm{LIS}(B) = 10 を達成できます．
Score : 500 points
Problem Statement
For a sequence P = (P_1, \ldots, P_N), let \mathrm{LIS}(P) denote the length of a longest increasing subsequence.
You are given permutations A = (A_1, \ldots, A_N) and B = (B_1, \ldots, B_N) of integers from 1 through N. You may perform the following operation on these sequences any number of times (possibly zero).
- Choose an integer i such that 1\leq i\leq N-1. Swap A_i and A_{i+1}, and swap B_i and B_{i+1}.
Find the maximum possible final value of \mathrm{LIS}(A) + \mathrm{LIS}(B).
What is a longest increasing subsequence?
A subsequence of a sequence is a sequence obtained by removing zero or more elements from the original sequence and then concatenating the remaining elements without changing the order. For instance, (10,30) is a subsequence of (10,20,30), but (20,10) is not a subsequence of (10,20,30).
A longest increasing subsequence of a sequence is a subsequence of that sequence with the greatest length among its subsequences that are strictly increasing.
Constraints
- 2\leq N\leq 3\times 10^5
- 1\leq A_i\leq N
- 1\leq B_i\leq N
- A_i\neq A_j and B_i\neq B_j, if i\neq j.
Input
The input is given from Standard Input in the following format:
N A_1 \ldots A_N B_1 \ldots B_N
Output
Print the maximum possible final value of \mathrm{LIS}(A) + \mathrm{LIS}(B).
Sample Input 1
5 5 2 1 4 3 3 1 2 5 4
Sample Output 1
8
Here is one way to achieve \mathrm{LIS}(A) + \mathrm{LIS}(B) = 8.
- Do the operation with i = 2. Now, A = (5,1,2,4,3), B = (3,2,1,5,4).
- Do the operation with i = 1. Now, A = (1,5,2,4,3), B = (2,3,1,5,4).
- Do the operation with i = 4. Now, A = (1,5,2,3,4), B = (2,3,1,4,5).
Here, A has a longest increasing subsequence (1,2,3,4), so \mathrm{LIS}(A)=4, and B has a longest increasing subsequence (2,3,4,5), so \mathrm{LIS}(B)=4.
Sample Input 2
5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
Sample Output 2
10
You can decide not to perform the operation at all to achieve \mathrm{LIS}(A) + \mathrm{LIS}(B) = 10.