\(A_i\) を \(X+Y\) で割ったあまりを \(B_i\) とおきます．以下，高橋君，青木君のことをそれぞれ先手，後手と呼ぶことにします．

まず \(B_i\) がすべて \(X\) より小さい場合，後手の勝ちです．というのも，先手が選んだ山について，操作後の \(B_i\) の値は \(Y\) 以上となるので，後手は同じ山を選ぶことで\(B_i\) の値を元の値に戻すことができるからです．

次に \(X \leq Y\) として，ある \(B_i\) が \(X\) 以上の場合を考えると，先手の勝ちとなります．というのも，\(B_i\) が \(X\) 以上の山を選んで操作することで，\(B_i\) がすべて \(Y\) より小さい状態にすることができるからです．

最後に \(X>Y\) の場合を考えます．このとき，\(B_i\) が \(X\) より小さい山を選ぶことはできず，逆に \(X\) 以上の山は必ず選ばなければいけません．よって，選ぶべき山の集合が一意に決まり，先程の場合から勝敗を決定することができます．