F - Random Transition Editorial /

Time Limit: 5 sec / Memory Limit: 1024 MB

配点 : 1100 点

問題文

整数 N が与えられます．

すぬけくんはこれから，以下の操作を行います．

  • 変数 x を用意し，ランダムに選んだ 0 以上 N 以下の整数で初期化する．各 0 \leq i \leq N に対し，x=i と初期化する確率は A_i/10^9 である．
  • 次の操作を K 回繰り返す．
    • 確率 x/N で x の値を 1 減らし，確率 1-x/N で x の値を 1 増やす． （ここで，操作後も x の値が必ず 0 以上 N 以下であることに注意）

各 i=0,1,\cdots,N について，すべての操作が終了したあとに x=i である確率を \pmod{998244353} で求めてください．

確率 \pmod{998244353} の定義

求める確率は必ず有理数になることが証明できます。 また、この問題の制約のもとでは、その値を既約分数 \frac{P}{Q} で表した時、Q \neq 0 \pmod{998244353} となることも証明できます。 よって、R \times Q \equiv P \pmod{998244353}, 0 \leq R < 998244353 を満たす整数 R が一意に定まります。 この R を答えてください。

制約

  • 1 \leq N \leq 100000
  • 0 \leq A_i
  • \sum_{0 \leq i \leq N}A_i = 10^9
  • 1 \leq K \leq 10^9
  • 入力される値はすべて整数である

入力

入力は以下の形式で標準入力から与えられる．

N K
A_0 A_1 \cdots A_N

出力

各 i=0,1,\cdots,N について，すべての操作が終了したあとに x=i である確率を \pmod{998244353} で出力せよ．

入力例 1

2 1
0 1000000000 0

出力例 1

499122177 0 499122177

最初は必ず x=1 と初期化します． その後の操作では．確率 1/2 で x の値を 1 減らし，確率 1/2 で x の値を 1 増やします． 最終的に x=0,1,2 となる確率は，それぞれ 1/2,0,1/2 です．

入力例 2

4 2
200000000 200000000 200000000 200000000 200000000

出力例 2

723727156 598946612 349385524 598946612 723727156

入力例 3

10 100
21265166 263511538 35931763 26849698 108140810 134702248 36774526 147099145 58335759 4118743 163270604

出力例 3

505314898 24510700 872096939 107940764 808162829 831195162 314651262 535843032 665830283 627881537 696038713

Score : 1100 points

Problem Statement

Given is an integer N.

Snuke is going to do the procedure below.

  • Let x be a variable and initialize it with a random integer between 0 and N (inclusive). For each 0 \leq i \leq N, x=i is chosen with probability A_i/10^9.
  • Repeat the following operation K times.
    • With probability x/N, decrease the value of x by 1; with probability 1-x/N, increase it by 1. (Here, note that x will still be between 0 and N after the operation.)

For each i=0,1,\cdots,N, find the probability, modulo 998244353, that x=i after the procedure.

Definition of probability modulo 998244353

It can be proved that the sought probabilities are always rational numbers. Additionally, under the Constraints of this problem, when representing each of them as an irreducible fraction \frac{P}{Q}, it can be proved that Q \neq 0 \pmod{998244353}. Thus, there uniquely exists an integer R such that R \times Q \equiv P \pmod{998244353}, 0 \leq R < 998244353. Answer with this R.

Constraints

  • 1 \leq N \leq 100000
  • 0 \leq A_i
  • \sum_{0 \leq i \leq N}A_i = 10^9
  • 1 \leq K \leq 10^9
  • All values in input are integers.

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

N K
A_0 A_1 \cdots A_N

Output

For each i=0,1,\cdots,N, print the probability, modulo 998244353, that x=i after the procedure.

Sample Input 1

2 1
0 1000000000 0

Sample Output 1

499122177 0 499122177

First, x is always initialized with x=1. In the subsequent operation, the value of x is decreased by 1 with probability 1/2 and increased by 1 with probability 1/2. Eventually, we will have x=0,1,2 with probabilities 1/2,0,1/2, respectively.

Sample Input 2

4 2
200000000 200000000 200000000 200000000 200000000

Sample Output 2

723727156 598946612 349385524 598946612 723727156

Sample Input 3

10 100
21265166 263511538 35931763 26849698 108140810 134702248 36774526 147099145 58335759 4118743 163270604

Sample Output 3

505314898 24510700 872096939 107940764 808162829 831195162 314651262 535843032 665830283 627881537 696038713