\(A_i=A_{i+1}\) を満たすとき，ボール \(i\) とボール \(i+1\) は消えることはないため，ここで列を分割して問題を独立に解きます．

今，\(A_i \neq A_{i+1}\) (\(1 \leq i \leq N-1\)) であるとします． ボール \(1\) とボール \(N\) だけを残すことが可能かどうかを判定します． まず，\(N=2,3\) ならば必ず可能です．

次に，\(N \geq 4\) とします． 登場する値の種類数が \(2\) の時，明らかに不可能です． 逆に，種類数が \(3\) 以上の時は可能であることを示します．

\(N\) に関する帰納法で示します． \(N=4\) は手で確認できます． \(N=K\) で成り立つとして，\(N=K+1\) の場合に成り立つことを示します． 種類数が \(3\) 以上であることから，ある \(2 \leq i \leq N-1\) が存在し，\(A_{i-1},A_{i},A_{i+1}\) が全て異なります． ここで \(A_i\) を取り除いても値の種類数が\(3\) 以上ならば問題ないです． そうでない場合，\(A=(\cdots,y,x,y,x,A_i,y,x,y,x\cdots)\) という形になっていますが，この場合は \(A_{i-1}\) もしくは \(A_{i+1}\) を取り除くことで，種類数を\(3\) 以上に保つことができます． よって示されました．

上の特徴付けを使ってDPをします． \((A_i,A_{i+1}\cdots,A_j)\) が上の条件を満たす時，\(dp[i] \rightarrow dp[j]\) と遷移できるとすればよいです． 遷移は \(O(N^2)\) 個存在しますが，種類数が \(3\) 以上になる，という条件が満たされる \(i\) や \(j\) は区間を成すため，累積和で DP を高速化できます． 計算量は \(O(N)\) です． なお，実装によっては \(O(N \log N)\) 時間かかることもありますが，問題ありません．