まず，ひとつの立方体に注目します．

ハバネロのある \(x\) 座標の最小値を \(x_1\)，最大値を \(x_2\) とします．\(y_1, y_2, z_1, z_2\) なども同様に定めます．

立方体をその座標により，\([a_1,a_2] \times [b_1,b_2]\times [c_1,c_2]\) などと書けば，

• \([a_1,a_2] \supset [x_1,x_2]\) 等が成り立つような操作のみが合法である．
• \(a_1\) を増やす操作，\(a_2\) を減らす操作，\(b_1\) を増やす操作，\(b_2\) を減らす操作，\(c_1\) を増やす操作，\(c_2\) を減らす操作ができる．

となります．\(6\) つ組 \((x_1-a_1,a_2-x_2,y_1-b_1,b_2-y_2,z_1-c_1,c_2-z_2)\) を考えると，ひとつの立方体に関するゲームは次のゲームに置き換えてよいです．

• 非負整数個の石が置かれた山が \(6\) 個ある．
• 各プレイヤは，ひとつの山から正整数の個数の石を取り去ることができる．
• 操作できなくなったプレイヤが負け．

すると，立方体が \(N\) 個ある状況は次のように言い換えられます．

• 非負整数個の石が置かれた山が \(6N\) 個ある．
• 各プレイヤは，ひとつの山から正整数の個数の石を取り去ることができる．
• 操作できなくなったプレイヤが負け．

これは，ニムのゲームという有名問題で，石の個数すべての xor により勝敗判定ができることが知られています．