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実行時間制限: 2 sec / メモリ制限: 1024 MiB
ストーリー
AtCoder研究所では、新しい分子の開発を行っている。 天才化学者である髙橋くんは、動き回る原子同士を好きなタイミングで結合させて、分子を作ることができる。 ただし、原子を結合するには距離に応じてエネルギーを消費してしまうので、できるだけ少ないエネルギーで決められた数の分子を作りたい。
問題文
0 \leq x < L = 10^5、0 \leq y < L = 10^5 からなる2次元平面を考える。ただし、この平面は左右端（x = 0 と x = L）、および上下端（y = 0 と y = L）がそれぞれつながっており、全体としてトーラス構造となっている。範囲外の座標は、x および y をそれぞれ L で割った余りに置き換えることで、常に 0 \leq x, y < L の範囲に正規化される。例えば、位置 (10000, 90000) から (-20000, 30000) 進んだ先の座標は (90000, 20000) である。
この平面上に N 個の点が存在する。t = 0 において、i 番目の点（0 \leq i < N）の初期位置 (x_i, y_i)（0 \leq x_i, y_i < L）と初期速度 (vx_i, vy_i)（-100 \leq vx_i, vy_i \leq 100）が入力で与えられる。初期状態では、各点は独立した連結成分を形成している。
各時刻 t = 0, 1, \ldots, T - 1 において、以下の 1. 結合フェーズ と 2. 移動フェーズ の順で交互に処理を行う。
1. 結合フェーズ
時刻 t において、異なる連結成分に属する 2 つの点を 結合 することができる。同一時刻に複数の結合を行ってもよい。
点 i の時刻 t における位置を (x_i, y_i)、点 j の時刻 t における位置を (x_j, y_j) としたとき、点 i と点 j を結合する際の 結合コスト D は、以下の距離の式で計算される：
\[ D = \mathrm{round}\left( \sqrt{ \bigl(\min(L - \Delta x,\ \Delta x)\bigr)^2 + \bigl(\min(L - \Delta y,\ \Delta y)\bigr)^2 } \right) \]
\[ \Delta x = |x_i - x_j|,\quad \Delta y = |y_i - y_j| \]
点を結合すると、運動量保存則に従って連結成分の速度が更新される。結合前の時点において、点 i が速度 (vx_A, vy_A) で動く連結成分 A に属し、点 j が速度 (vx_B, vy_B) で動く連結成分 B に属しているとする。連結成分 A および連結成分 B に属しているすべての点について、結合後の連結成分の速度 (vx_{\text{new}}, vy_{\text{new}}) は以下のように更新される：
\[ (vx_{\text{new}}, vy_{\text{new}}) = \left( \frac{|A| \times vx_A + |B| \times vx_B}{|A| + |B|}, \frac{|A| \times vy_A + |B| \times vy_B}{|A| + |B|} \right) \]
ここで、|A|、|B| はそれぞれ連結成分に含まれる点の数を示す。結合後、その連結成分に属するすべての点は、同じ速度で動くようになる。結合によって点の位置は変化しない。また、同一時刻内での結合の順序は、結合後の位置、結合コスト、および連結成分の速度に影響しない。
座標および速度は小数となることがあるが、計算はすべて倍精度浮動小数（double）で管理される。
2. 移動フェーズ
各連結成分に属するすべての点の位置を同時に更新する。点 i の時刻 t における位置を (x_i, y_i)、点 i が属する連結成分の速度を (vx_i, vy_i) とすると、時刻 t + 1 における点 i の位置 (x_i', y_i') は以下のようになる：
\[ (x_i', y_i') = ((x_i + vx_i) \bmod L, (y_i + vy_i) \bmod L) \]
時刻 T において、連結成分数が ちょうど M 個、かつ各連結成分のサイズが ちょうど K となるように結合を計画し、結合コスト D の合計を最小化せよ。
結合と移動の例
上図では、3 つの点を 1 つの連結成分にまとめる例を示している。 まず最初に、左下と右下の 2 点を結合し、進行方向が上向きに変化する。 次に、上部を右向きに進む点と結合し、進行方向は右上に変化する。
得点
すべての結合コスト D の合計を D_{\text{sum}} とする。このとき、1 テストケースの得点は以下のように計算される。得点は大きいほど良い。
\[ \mathrm{Score} = \mathrm{round}\!\left(10^{6} \times \log_{2}\!\left( \frac{L \times (N - M)}{D_{\text{sum}} + 1} \right)\right) \]
以下の場合、WA となる。
- 無効な出力を行った場合
- 時刻 T 時点で連結成分数が ちょうど M 個、各連結成分のサイズが ちょうど K でない場合
- すでに同一連結成分に属している点の間で結合が指定された場合
合計で 150 個のテストケースがあり、各テストケースの得点の合計が提出の得点となる。 一つ以上のテストケースで不正な出力や制限時間超過をした場合、提出全体の判定がWAやTLEとなる。 コンテスト時間中に得た最高得点で最終順位が決定され、コンテスト終了後のシステムテストは行われない。 同じ得点を複数の参加者が得た場合、提出時刻に関わらず同じ順位となる。
入力
入力は以下の形式で標準入力から与えられる。
N T M K L
x_0 y_0 vx_0 vy_0
x_1 y_1 vx_1 vy_1
\vdots
x_{N-1} y_{N-1} vx_{N-1} vy_{N-1}
- 点の総数は N = 300 である。
- 総ステップ数は T = 1000 である。
- 目標連結成分数は M = 10 である。
- 各連結成分の目標サイズは K = 30 である。
- 空間の一辺の長さは L = 10^5 である。
- (x_i, y_i) は点 i の初期位置を表し、0 \leq x_i, y_i < L を満たす整数値である。
- (vx_i, vy_i) は点 i の初期速度を表し、-100 \leq vx_i, vy_i \leq 100 を満たす整数値である。
出力
ちょうど N - M 行を標準出力に出力せよ。各行は以下の 3 つの整数からなり、時刻 t に点 i と点 j を結合することを表す。 出力の順番は任意であるが、処理は時刻 t の昇順で行われる。
t i j
出力は以下の条件を満たさなければならない。
- 0 \leq t < T
- 0 \leq i, j < N、かつ i \neq j であること
入力生成方法
\mathrm{rand}(L,U): L 以上 U 以下の整数値を一様ランダムに生成する。
初期位置の生成
各点 i ごとに独立に、x_i = \mathrm{rand}(0, L - 1)、y_i = \mathrm{rand}(0, L - 1) により生成する。
初期速度の生成
各点 i ごとに独立に、vx_i = \mathrm{rand}(-100, 100)、vy_i = \mathrm{rand}(-100, 100) により生成する。
ツール(入力ジェネレータ・ビジュアライザ)
- Web版: ローカル版より高性能でアニメーション表示が可能です。
- ローカル版: 使用するにはRust言語のコンパイル環境をご用意下さい。
- Windows用のコンパイル済みバイナリ: Rust言語の環境構築が面倒な方は代わりにこちらをご利用下さい。
コンテスト期間中に、ビジュアライズ結果の共有や、解法・考察に関する言及は禁止されています。ご注意下さい。
入力例 1
300 1000 10 30 100000 2436 18582 80 -53 11172 25071 -47 -71 56643 73929 46 -89 32441 4016 1 62 81600 85102 -62 83 46831 96411 -13 -88 85958 91609 -31 -51 47788 53885 -98 87 80068 86751 -32 23 73792 28207 -18 55 82502 35092 87 41 42677 29047 14 -3 20208 44400 80 4 81416 25817 -66 85 66324 4956 19 73 79260 68753 -99 97 60669 49104 -1 -68 11487 8219 96 82 10449 35974 97 -83 36934 26216 -57 12 31832 45833 7 -75 84066 42632 -42 -93 48899 22095 -20 4 499 17907 19 -59 58093 41209 -45 61 68394 86597 7 16 94459 57728 47 38 3355 90413 64 -42 86511 77344 -16 -73 61617 76222 69 84 36013 78203 -62 -7 66418 15805 -100 -12 62210 76124 -63 78 69486 84752 96 -4 62365 49587 -35 3 7036 85915 -25 -91 85117 52902 -6 -95 30509 85473 -47 -80 85969 88350 -86 42 75340 91696 -48 -99 4902 94732 -49 49 44596 90771 -37 48 44827 68181 80 -98 96068 81537 -61 -35 92964 85388 -61 29 30384 93176 19 23 16047 68444 -56 -61 72556 4749 11 -17 41093 18686 -9 -10 73474 10624 89 39 38347 89510 -90 57 63568 16873 51 75 87374 7602 70 69 50016 50344 46 -6 72135 90944 -60 20 79124 34278 -14 85 57903 91370 -82 -86 65699 24840 -90 71 61416 42823 -4 -27 5881 13273 -75 35 90608 55227 44 26 4228 84079 -51 23 63053 6894 -83 20 54427 32840 -98 0 35069 866 60 84 56338 3161 -1 -67 87839 68526 -17 87 51927 22524 62 -88 18360 76668 -49 -19 41330 38632 -43 85 8423 85430 27 -72 31151 30949 -35 -68 35425 98667 -34 -40 64216 29899 -17 40 6406 50469 75 81 55655 37416 -9 35 1516 30683 82 35 91220 8358 -5 43 17134 28374 68 41 33754 62967 -80 79 49343 85380 -81 91 42151 35142 65 -92 66104 39335 71 9 14111 50565 -100 51 89806 40162 32 -37 64785 72129 20 31 32720 22985 29 53 72911 9918 46 -92 49311 20410 -27 -28 67923 29578 26 -75 35876 65903 32 -37 56965 81112 92 -12 69550 59002 36 35 63834 92908 -88 -19 75066 80665 47 -88 53110 24554 -90 54 59597 4126 20 -11 63411 98916 -27 -16 78646 71220 -6 18 53418 70370 -79 -22 91062 85140 -67 -83 86010 32629 2 45 75168 84052 24 48 85615 38954 18 19 13168 93699 30 -42 77158 13596 -79 -73 99380 68100 8 70 42694 41699 -32 96 57174 23983 44 -64 88856 48119 71 -2 57945 26398 -96 16 34332 3616 61 -76 20394 35156 22 -58 68780 41704 50 -73 5379 44220 55 21 90510 66235 28 -92 69428 77407 51 5 10696 78430 -45 -40 24277 96652 39 90 81795 3062 99 -31 80424 39645 -26 -51 62404 61793 1 42 18353 74523 -48 46 28270 6207 47 56 15533 8441 36 -4 83297 59770 17 -87 85877 26141 49 5 77103 62145 -32 -29 90325 58414 94 -90 26573 75460 31 -73 4974 24976 97 -93 28525 86194 20 74 83856 264 18 21 74580 51154 15 48 50869 29907 -6 78 948 12466 -82 -46 7689 60224 -42 -21 44985 60022 11 10 45567 21013 -71 40 41314 93936 92 -63 95718 29800 -8 -53 60008 67095 78 29 55013 36137 87 -66 503 3718 36 64 43856 81799 -81 19 91386 79466 -62 15 8026 98878 97 -6 96002 46215 -50 -42 54713 50659 9 -42 89363 21620 -56 19 49962 67038 55 -15 943 41697 7 53 40087 42225 16 -47 57254 77442 98 -82 36337 29590 74 91 26938 3423 54 51 39779 32823 -77 -84 32847 17135 100 -5 79055 40811 92 -15 21868 98831 -91 -38 10449 6999 -82 35 49418 87285 -42 37 97197 74822 -17 10 47348 63144 -90 68 64915 22253 74 90 42086 35915 -53 23 18935 26845 77 -20 2238 2244 41 32 72456 93027 -41 0 28617 20552 -62 -80 94701 39336 12 -49 62123 63790 58 -46 99993 60564 -69 2 3426 80446 52 -73 30321 10476 -70 -21 23253 950 28 -100 44526 84781 -56 57 51852 64272 -72 -78 84201 88938 -26 63 86769 34382 22 -32 22189 86673 62 9 58373 8944 -9 46 53079 90631 -48 29 23413 91072 45 66 88867 741 -23 16 1384 41908 95 76 35135 90166 -26 -95 74179 9930 -48 -51 50994 17019 27 -91 5797 76408 -10 4 96854 40045 64 34 92623 24149 -16 -69 83586 30280 -10 -26 61804 51797 31 -94 46036 49587 -32 -55 37530 39036 -59 69 8874 85829 -22 90 7485 2200 50 30 67407 98154 94 -30 70157 77324 48 34 81873 76890 39 58 52818 91109 22 -17 54658 95263 37 -59 9119 34477 25 -93 7129 74354 -18 25 60889 27731 -21 48 24786 2060 45 -46 38075 19541 38 -66 98098 20038 -52 10 35468 98666 34 -11 41880 19402 82 64 87283 93233 83 27 82643 48079 -82 85 36106 27889 49 -31 70284 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93886 14955 42 77 65492 15419 57 -3 92243 49163 -85 44 51731 74047 62 -54 98816 47865 4 -27 97740 87273 91 -72 67507 30632 34 -35 4098 14515 -92 93 99437 70562 11 -78 84641 87942 -56 -81 58040 49980 -94 8 66894 70330 57 89 49916 43921 -1 31 46384 60472 -58 17 76985 7656 -92 54 76463 7654 -42 74 67955 20110 74 -3 86395 65532 45 -52 80133 44506 -16 -19 3979 57651 65 -65 67184 14011 -99 48 26965 3647 -19 -29 97237 34716 16 -20 44259 87431 62 21 2929 5456 69 -8 82897 12715 12 5 46414 16319 54 43 20952 55289 -73 21 32306 80650 -36 -37 32354 54519 81 -4 22913 77540 -61 -66 21963 14649 67 -28
出力例 1
510 192 66 226 174 276 569 16 98 958 56 36 744 30 149 936 81 236 289 260 269 289 276 222 69 146 210 81 107 230 842 25 199 746 82 230 103 68 143 986 39 60 159 58 241 908 247 80 512 274 216 167 154 138 881 220 241 392 59 54 841 235 190 625 206 246 267 69 138 290 177 163 708 116 55 424 52 66 156 291 14 476 130 213 122 189 155 457 226 136 866 34 163 767 29 292 496 74 22 772 172 237 28 139 1 591 88 20 219 140 47 626 191 68 180 209 150 626 279 265 4 73 20 319 156 136 775 97 231 358 141 154 488 85 254 39 164 180 30 83 21 150 197 163 162 217 222 780 152 71 67 282 88 642 133 254 617 248 95 134 86 128 291 4 116 44 178 206 554 79 66 319 117 92 202 254 253 56 3 153 801 168 231 933 122 65 990 180 54 485 26 294 703 251 123 438 44 77 821 222 262 188 232 160 661 112 258 697 277 83 596 228 244 682 91 221 976 281 20 772 160 0 732 236 143 173 57 282 7 144 16 343 183 244 691 294 194 61 241 163 463 280 5 157 27 247 555 105 65 105 55 119 206 41 125 770 124 199 318 297 181 357 250 269 220 110 197 373 76 151 449 9 164 507 287 92 436 171 35 552 285 102 862 63 36 553 244 163 576 292 194 308 106 107 546 138 229 15 163 87 297 128 173 959 23 39 284 123 154 720 126 68 687 5 117 757 272 134 966 270 259 926 216 149 407 120 199 907 198 262 764 157 54 744 227 181 423 121 73 650 0 12 44 230 229 926 245 59 11 239 228 317 37 207 932 268 118 55 252 138 33 99 16 504 62 36 303 296 206 623 28 55 726 293 80 284 72 19 924 153 246 928 267 131 752 181 54 833 150 214 541 115 194 418 237 236 418 113 153 673 78 73 254 185 233 81 71 267 403 46 12 317 67 184 130 103 28 827 93 46 327 210 276 731 199 119 647 223 116 525 255 131 903 19 44 207 208 78 406 40 245 102 205 271 544 188 230 202 65 261 145 213 131 509 14 131 374 215 252 751 145 77 658 95 287 711 243 12 180 196 79 840 108 79 74 109 296 869 94 125 73 179 20 328 96 161 444 155 18 413 170 73 930 38 271 197 169 236 927 290 132 869 45 68 656 90 197 739 75 216 173 7 214 671 283 83 143 53 117 687 125 93 667 89 124 246 286 56 168 36 93 29 187 137 256 263 187 196 231 137 478 15 63 848 167 44 482 211 199 864 92 225 795 289 128 293 278 285 422 161 163 571 257 160 359 242 241 172 299 1 377 35 157 204 47 256 979 80 28 950 288 28 598 114 20 636 166 73 175 275 47 306 84 183 850 162 220 816 238 182 947 225 194 420 259 262 827 219 213 665 66 137 785 240 241 105 151 150 972 118 246 857 104 78 59 8 272 903 295 36 251 265 150 202 284 256 223 201 114 3 158 229 290 135 0 157 48 84 809 102 4 411 224 156 461 193 28 342 262 269 882 149 50 530 49 269 458 271 92 125 253 137 97 195 260 536 261 153 153 218 163 714 176 20 251 159 225 729 17 182 121 132 51 882 18 119 201 6 229 232 143 246 715 64 120 781 173 218 118 186 241 443 207 92 163 142 146 236 1 151 176 42 53 883 264 113 387 148 20 871 33 14 751 32 49 569 22 236 938 249 93 11 98 213 707 10 105 285 134 146 27 50 114 56 204 247 117 61 296 388 258 20 471 147 112 129 221 210 403 234 73 863 131 273 490 54 137 337 175 192 748 256 222 283 190 6 99 11 141 528 212 128 748 203 197 330 233 184 189 2 139 66 31 159 162 77 225 581 21 229 89 51 0 44 165 134 782 101 277 275 100 73 189 298 258 921 24 191 518 70 86 149 43 265 913 13 82 471 127 121 199 184 229 132 136 12 51 182 36 240 214 273 314 200 159 923 202 138 997 266 222 28 60 28 267 111 273 460 129 140
Story
AtCoder Laboratory is engaged in the development of new molecules. Takahashi, a genius chemist, can freely bond atoms that move around at any timing he chooses to form molecules. However, bonding atoms consumes energy depending on the distance between them, so he wants to create the required number of molecules using as little energy as possible.
Problem Statement
Consider a two-dimensional plane defined by 0 \leq x < L = 10^5 and 0 \leq y < L = 10^5. This plane has a toroidal structure, meaning the left and right edges (x = 0 and x = L), as well as the top and bottom edges (y = 0 and y = L), are connected. Any coordinates outside this range are normalized to fall within 0 \leq x, y < L by taking the remainder when divided by L for both x and y. For example, the position reached by moving (-20000, 30000) from (10000, 90000) is (90000, 20000).
There are N points on this plane. At time t = 0, the initial position (x_i, y_i) (0 \leq x_i, y_i < L) and initial velocity (vx_i, vy_i) (-100 \leq vx_i, vy_i \leq 100) of the i-th point (0 \leq i < N) are given as input. In the initial state, each point forms an independent connected component.
At each time t = 0, 1, \ldots, T - 1, the following two phases are processed in order: 1. Bonding Phase and 2. Movement Phase.
1. Bonding Phase
At time t, it is possible to bond two points that belong to different connected components. Multiple bonds may be performed in the same time step.
Let (x_i, y_i) be the position of point i at time t, and (x_j, y_j) be the position of point j at time t. The bonding cost D for bonding point i and point j is calculated using the following distance formula:
\[ D = \mathrm{round}\left( \sqrt{ \bigl(\min(L - \Delta x,\ \Delta x)\bigr)^2 + \bigl(\min(L - \Delta y,\ \Delta y)\bigr)^2 } \right) \]
\[ \Delta x = |x_i - x_j|,\quad \Delta y = |y_i - y_j| \]
When two points are bonded, the velocity of the resulting connected component is updated according to the law of conservation of momentum. Suppose that before the bond, point i belongs to connected component A moving at velocity (vx_A, vy_A), and point j belongs to connected component B moving at velocity (vx_B, vy_B). Then, for all points belonging to connected components A and B, the velocity (vx_{\text{new}}, vy_{\text{new}}) after bonding is updated as follows:
\[ (vx_{\text{new}}, vy_{\text{new}}) = \left( \frac{|A| \times vx_A + |B| \times vx_B}{|A| + |B|}, \frac{|A| \times vy_A + |B| \times vy_B}{|A| + |B|} \right) \]
Here, |A| and |B| denote the number of points in connected components A and B, respectively. After bonding, all points in the resulting connected component will move with the same velocity. The positions of the points do not change due to bonding. Additionally, the order in which bonds are performed within the same time step does not affect the resulting positions, bonding costs, or velocities of the connected components.
Coordinates and velocities may become fractional, but all computations are performed using double-precision floating-point arithmetic.
2. Movement Phase
The positions of all points in each connected component are updated simultaneously. Let (x_i, y_i) be the position of point i at time t, and let (vx_i, vy_i) be the velocity of the connected component to which point i belongs. Then, the position (x_i', y_i') of point i at time t + 1 is updated as follows:
\[ (x_i', y_i') = ((x_i + vx_i) \bmod L, (y_i + vy_i) \bmod L) \]
Plan the bonds so that at time T, the number of connected components is exactly M, and the size of each connected component is exactly K, while minimizing the total bonding cost D.
Example of Bonding and Movement
The figure above illustrates an example of bonding three points into a single connected component. First, the two points at the lower left and lower right are bonded, and their direction of movement changes upward. Next, they are bonded with the point moving to the right at the top, and the direction of movement changes to upward-right.
Scoring
Let the total bonding cost of all bonds be D_{\text{sum}}. The score for a single test case is calculated as follows. A higher score is better.
\[ \mathrm{Score} = \mathrm{round}\!\left(10^{6} \times \log_{2}\!\left( \frac{L \times (N - M)}{D_{\text{sum}} + 1} \right)\right) \]
The result will be WA in the following cases:
- If the output is invalid
- If at time T, the number of connected components is not exactly M, or the size of each connected component is not exactly K
- If a bond is specified between two points that already belong to the same connected component
There are 150 test cases, and the score of a submission is the total score for each test case. If your submission produces an illegal output or exceeds the time limit for some test cases, the submission itself will be judged as WA or TLE , and the score of the submission will be zero. The highest score obtained during the contest will determine the final ranking, and there will be no system test after the contest. If more than one participant gets the same score, they will be ranked in the same place regardless of the submission time.
Input
Input is given from Standard Input in the following format:
N T M K L
x_0 y_0 vx_0 vy_0
x_1 y_1 vx_1 vy_1
\vdots
x_{N-1} y_{N-1} vx_{N-1} vy_{N-1}
- The total number of points is N = 300.
- The total number of steps is T = 1000.
- The target number of connected components is M = 10.
- The target size of each connected component is K = 30.
- The side length of the space is L = 10^5.
- (x_i, y_i) represents the initial position of point i, where 0 \leq x_i, y_i < L and values are integers.
- (vx_i, vy_i) represents the initial velocity of point i, where -100 \leq vx_i, vy_i \leq 100 and values are integers.
Output
Output exactly N - M lines to Standard Output. Each line consists of the following three integers, representing that point i and point j are bonded at time t. The order of the output is arbitrary, but the processing is performed in ascending order of time t.
t i j
The output must satisfy the following conditions:
- 0 \leq t < T
- 0 \leq i, j < N, and i \neq j
Input Generation
\mathrm{rand}(L,U): Randomly generates an integer between L and U, inclusive, with uniform probability.
Generating Initial Positions
For each point i, independently generate x_i = \mathrm{rand}(0, L - 1) and y_i = \mathrm{rand}(0, L - 1).
Generating Initial Velocities
For each point i, independently generate vx_i = \mathrm{rand}(-100, 100) and vy_i = \mathrm{rand}(-100, 100).
Tools (Input generator and visualizer)
- Web version: This is more powerful than the local version providing animations.
- Local version: You need a compilation environment of Rust language.
- Pre-compiled binary for Windows: If you are not familiar with the Rust language environment, please use this instead.
Please be aware that sharing visualization results or discussing solutions/ideas during the contest is prohibited.
Sample Input 1
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