\(A[L:R]\) が以下の条件を満たすとき，\(A[L:R]\) を極大な区間と呼ぶことにします．

• 各 \(i=L,\ldots,R\) に対して，\(A_i = r(r-1)/2+l\) を満たす \((l,r) (L\leq l\leq r\leq R)\) が存在
• 各 \(i=L,\ldots,R\) に対して，\(l\leq i\leq r\) を満たす操作を禁止すると，\(A\) を作ることができない．

操作によって作ることができる \(A\) は，極大な区間または \((0)\) の連結で表現できます．以下では一つの極大な区間からなる数列（極大な数列と呼ぶ）の個数を考えます．

操作を逆順に見ると，\(A\) を作ることができるかは以下の手順で判定できます．

• すべての要素が \(0\) になるまで以下を繰り返す．（もし途中で操作できなくなった場合は作ることができない．）
  1. 以下を満たす \(l,r\) を選ぶ．（そのような \((l,r)\) が複数存在する場合は辞書順最小を選ぶ）
     • 各 \(i=l,\ldots,r\) に対し \(A_i\in \lbrace 0,r(r-1)/2+l\rbrace\) である
     • \(A_i= r(r-1)/2+l\) となる \(i\) が存在する
  2. \(A_l,\ldots,A_r\) をすべて \(0\) にする．

（判定手順内で選ぶ \((l,r)\) の具体例（\(A_i=r(r-1)/2+l\) となる \(l,r\) を \([l, r]\) で表しています． ））

（抽象化した判定手順）

作ることができる数列と判定の操作列は一対一対応します．作ることができる長さ \(n\) の極大な数列の操作列を数えることにします．

操作列の最後の操作を \(l_{\mathrm{last}},r_{\mathrm{last}}\) とします．最後の操作をする前は，極大な区間の列 \([L_1:R_1],\ldots,[L_m:R_m]\ (L_1\leq R_1\lt \ldots \lt L_m\leq R_m)\) が存在して，\([L_1:R_1],\ldots,[L_m:R_m]\) 内でそれぞれ完結する操作がこの順番で行われます．

どの \(i\) に対しても \(L_i\leq j\leq R_i\) とならない \(j\) が必ず存在します（極大の条件より）．そのような \(j\) のうち最小のものを \(j_{\mathrm{left}}\) とします．

\(l_{\mathrm{last}},r_{\mathrm{last}}\) は次を満たす必要があります．

• \(L_1\neq 1\) なら \(l_{\mathrm{last}}=1\)，そうでないなら \(L_1\leq l_{\mathrm{last}}\leq R_1\) （極大の条件より）
• \(R_m\neq n\) なら \(r_{\mathrm{last}}=n\)，そうでないなら \(L_m\leq r_{\mathrm{last}}\leq R_m\) （極大の条件より）
• - 区間 \([L_m:R_m]\) における \(j_{\mathrm{left}}\) を \(j'\) としたとき，\(j'\leq r_{\mathrm{last}}\)
  • これは，操作列の定義で「そのような \(l,r\) が複数存在する場合は辞書順最小のものを選ぶ．」としたところから従う．

以上のような特徴づけを行うことで，長さが \(1,2,\ldots,n-1\) の極大な数列の個数（操作列の個数）が \(j_\mathrm{left}\) ごとに分かっていれば，長さ \(n\) の極大な数列の個数を多項式時間で求められます．必要な情報をまとめてうまく持つと \(O(n)\) で求められます．

（具体的には，左から順番にどうするかを決めていったときに，「\(l_{\mathrm{last}}\) がまだ決まってないものの個数」「\(j_{\mathrm{left}}\) がまだ決まってないものの個数」「\(j_{\mathrm{left}}\) が決まったものの個数」「\(j_{\mathrm{left}}\) が決まったものすべてに対する \(j_{\mathrm{left}}\) の総和」などを持てば良いです．）

よって，この問題は \(O(N^2)\) で解けました．\(O(N\log ^2 N)\) で解くことも可能です．