D - Merge Triplets 解説 /

実行時間制限: 6 sec / メモリ制限: 1024 MB

配点 : 1200 点

問題文

正整数 N が与えられます。 (1,2,\cdots,3N) の順列 (P_1,P_2,\cdots,P_{3N})であって、次の操作によって生成されうるものの数を求めてください。 ただし、答えは非常に大きくなることがあるので、素数 M で割ったあまりを求めてください。

  • 長さ 3 の数列を N 個用意する。この数列たちを A_1,A_2,\cdots ,A_N とする。この 3N 個の値には 1 から 3N がちょうど一度ずつ登場せねばならない。
  • 空の数列 P を用意する。以下の操作を 3N 回繰り返す。
    • 各数列 A_i のうち、空でないものの先頭の要素を見て、そのうち最小の要素を x とする。
    • x を A_i から消去する。 P の最後尾に x を追加する。

制約

  • 1 \leq N \leq 2000
  • 10^8 \leq M \leq 10^9+7
  • M は素数
  • 入力はすべて整数

入力

入力は以下の形式で標準入力から与えられる。

N M

出力

条件を満たす順列の数を M で割ったあまりを出力せよ。

入力例 1

1 998244353

出力例 1

6

すべての長さ 3 の順列が条件を満たします。

入力例 2

2 998244353

出力例 2

261

入力例 3

314 1000000007

出力例 3

182908545

Score : 1200 points

Problem Statement

Given is a positive integer N. Find the number of permutations (P_1,P_2,\cdots,P_{3N}) of (1,2,\cdots,3N) that can be generated through the procedure below. This number can be enormous, so print it modulo a prime number M.

  • Make N sequences A_1,A_2,\cdots,A_N of length 3 each, using each of the integers 1 through 3N exactly once.
  • Let P be an empty sequence, and do the following operation 3N times.
    • Among the elements that are at the beginning of one of the sequences A_i that is non-empty, let the smallest be x.
    • Remove x from the sequence, and add x at the end of P.

Constraints

  • 1 \leq N \leq 2000
  • 10^8 \leq M \leq 10^9+7
  • M is a prime number.
  • All values in input are integers.

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

N M

Output

Print the number of permutations modulo M.

Sample Input 1

1 998244353

Sample Output 1

6

All permutations of length 3 count.

Sample Input 2

2 998244353

Sample Output 2

261

Sample Input 3

314 1000000007

Sample Output 3

182908545