F - Train Service Planning Editorial /

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配点 : 1700 点

問題文

高橋王国には，1 本の鉄道路線が走っています． この路線は N 個の区間 1, 2, ..., N と N+1 個の駅 0, 1, ..., N からなり，区間 i は駅 i-1 と駅 i を直接結んでいます． 列車が区間 i を走行するには，方向によらず，ちょうど A_i 分かかります． また，N 個の区間のそれぞれは，区間全体にわたって複線であるか，区間全体にわたって単線であるかのどちらかです． B_i = 1 のときは区間 i は単線，B_i = 2 のときは区間 i は複線です． 複線の区間では両方向の列車がすれ違うことができますが，単線の区間ではすれ違うことはできません． ただし，列車が駅にいる場合は列車同士がすれ違うことができます．

すぬけ君は，この路線に図のように K 分間隔で列車を走らせようとしています．ここで，太線は列車が走行している位置を表します． (詳しくは，入出力例 1 を見てください．)

このとき，駅 0 から駅 N までの列車の所要時間と，駅 N から駅 0 までの列車の所要時間の合計の最小値を求めてください． この問題の制約の下，適切な列車の走らせ方が存在するとき，この最小値は必ず整数になることが証明できます．

なお，列車の発車時刻や到着時刻が満たすべき条件は，厳密に書くと下のようになります．

  • どの列車も，駅 0 を出発して駅 N まで向かうか，駅 N を出発して駅 0 まで向かうかのいずれかである．
  • どの列車も，区間 i をちょうど A_i 分かけて走行する．例えば，駅 N 行きのある列車が駅 i-1 を時刻 t に出発したなら，この列車は駅 i にちょうど時刻 t+A_i に到着する．
  • ある駅で，時刻 s に駅 N 行きの列車が到着し，その列車が時刻 t に発車したとすると，駅 N 行きの次の列車は時刻 s+K に到着し，時刻 t+K に発車する．また，駅 N 行きの前の列車は時刻 s-K に到着し，時刻 t-K に発車する．駅 0 行きの列車についても同様である．
  • 異なる方向の列車が，同時に同じ単線区間（両端の駅を除く）を走行していてはならない．

制約

  • 1 \leq N \leq 100000
  • 1 \leq K \leq 10^9
  • 1 \leq A_i \leq 10^9
  • A_i は整数
  • B_i = 1 または B_i = 2

部分点

  • 500 点分のテストケースでは，すべての区間が単線である．すなわち，B_i = 1 が成り立つ．
  • 別の 500 点分のテストケースでは，N \leq 200 が成り立つ．

入力

入力は以下の形式で標準入力から与えられる。

N K
A_1 B_1
A_2 B_2
:
A_N B_N

出力

駅 0 から駅 N までの列車の所要時間と，駅 N から駅 0 までの列車の所要時間の合計の最小値を表す整数を出力せよ． ただし，条件をすべて満たすように列車を走らせることが不可能な場合は，-1 を出力せよ．

入力例 1

3 10
4 1
3 1
4 1

出力例 1

26

例えば，下図に示すように列車を走らせると，所要時間の合計が 26 分になります．

例えば，赤線で示した列車は，時刻 0 に駅 0 を出発し，時刻 4 に駅 1 に到着し，時刻 5 に駅 1 を出発し，時刻 8 に駅 2 に到着します．

入力例 2

1 10
10 1

出力例 2

-1

入力例 3

6 4
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1

出力例 3

12

入力例 4

20 987654321
129662684 2
162021979 1
458437539 1
319670097 2
202863355 1
112218745 1
348732033 1
323036578 1
382398703 1
55854389 1
283445191 1
151300613 1
693338042 2
191178308 2
386707193 1
204580036 1
335134457 1
122253639 1
824646518 2
902554792 2

出力例 4

14829091348

Score : 1700 points

Problem Statement

There is a railroad in Takahashi Kingdom. The railroad consists of N sections, numbered 1, 2, ..., N, and N+1 stations, numbered 0, 1, ..., N. Section i directly connects the stations i-1 and i. A train takes exactly A_i minutes to run through section i, regardless of direction. Each of the N sections is either single-tracked over the whole length, or double-tracked over the whole length. If B_i = 1, section i is single-tracked; if B_i = 2, section i is double-tracked. Two trains running in opposite directions can cross each other on a double-tracked section, but not on a single-tracked section. Trains can also cross each other at a station.

Snuke is creating the timetable for this railroad. In this timetable, the trains on the railroad run every K minutes, as shown in the following figure. Here, bold lines represent the positions of trains running on the railroad. (See Sample 1 for clarification.)

When creating such a timetable, find the minimum sum of the amount of time required for a train to depart station 0 and reach station N, and the amount of time required for a train to depart station N and reach station 0. It can be proved that, if there exists a timetable satisfying the conditions in this problem, this minimum sum is always an integer.

Formally, the times at which trains arrive and depart must satisfy the following:

  • Each train either departs station 0 and is bound for station N, or departs station N and is bound for station 0.
  • Each train takes exactly A_i minutes to run through section i. For example, if a train bound for station N departs station i-1 at time t, the train arrives at station i exactly at time t+A_i.
  • Assume that a train bound for station N arrives at a station at time s, and departs the station at time t. Then, the next train bound for station N arrives at the station at time s+K, and departs the station at time t+K. Additionally, the previous train bound for station N arrives at the station at time s-K, and departs the station at time t-K. This must also be true for trains bound for station 0.
  • Trains running in opposite directions must not be running on the same single-tracked section (except the stations at both ends) at the same time.

Constraints

  • 1 \leq N \leq 100000
  • 1 \leq K \leq 10^9
  • 1 \leq A_i \leq 10^9
  • A_i is an integer.
  • B_i is either 1 or 2.

Partial Score

  • In the test set worth 500 points, all the sections are single-tracked. That is, B_i = 1.
  • In the test set worth another 500 points, N \leq 200.

Input

The input is given from Standard Input in the following format:

N K
A_1 B_1
A_2 B_2
:
A_N B_N

Output

Print an integer representing the minimum sum of the amount of time required for a train to depart station 0 and reach station N, and the amount of time required for a train to depart station N and reach station 0. If it is impossible to create a timetable satisfying the conditions, print -1 instead.

Sample Input 1

3 10
4 1
3 1
4 1

Sample Output 1

26

For example, the sum of the amount of time in question will be 26 minutes in the following timetable:

In this timetable, the train represented by the red line departs station 0 at time 0, arrives at station 1 at time 4, departs station 1 at time 5, arrives at station 2 at time 8, and so on.

Sample Input 2

1 10
10 1

Sample Output 2

-1

Sample Input 3

6 4
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1

Sample Output 3

12

Sample Input 4

20 987654321
129662684 2
162021979 1
458437539 1
319670097 2
202863355 1
112218745 1
348732033 1
323036578 1
382398703 1
55854389 1
283445191 1
151300613 1
693338042 2
191178308 2
386707193 1
204580036 1
335134457 1
122253639 1
824646518 2
902554792 2

Sample Output 4

14829091348