while文などを用いて植物の高さが高橋君より高くなるまで、一日ごとに伸びた高さを足していくシミュレーションすることで答えを求めることができます。

また、30日目には植物の高さは \(1073741823\, \mathrm{cm}(> 10^{9}\, \mathrm{cm})\) となっているため、while文で1日ごとに高さを求めていく方法で十分高速に求まります。

実装例(C++):

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main(){
    int h;
    cin >> h;
    int ans = 0;
    int now = 0;
    while (now <= h) {
        now += 1 << ans;
        ans++;
    }
    cout << ans << endl;
}

実装例(Python):

h=int(input())
now=0
ans=0
while now<=h:
    now+=1<<ans
    ans+=1

print(ans)