AtCoder をはじめたばかりで何をしたらよいか分からない方は、まずは practice contest の問題A「Welcome to AtCoder」を解いてみてください。基本的な入出力の方法が載っています。
また、プログラミングコンテストの問題に慣れていない方は、AtCoder Beginners Selection の問題をいくつか解いてみることをおすすめします。

答えは以下のようになります。

• 高橋君も青木君もお腹を壊した場合
  • \(\{1,2\}\) にも \(\{1,3\}\) にも含まれる \(1\) が答えです。
• 高橋君はお腹を壊し、青木君は壊さなかった場合
  • \(\{1,2\}\) に含まれ \(\{1,3\}\) には含まれない \(2\) が答えです。
• 高橋君はお腹を壊さず、青木君は壊した場合
  • \(\{1,2\}\) に含まれず \(\{1,3\}\) には含まれる \(3\) が答えです。
• 高橋君も青木君もお腹を壊さなかった場合
  • \(\{1,2\}\) にも \(\{1,3\}\) にも含まれない \(4\) が答えです。

よって、if 文等を用いて場合分けを実装すればよいです。 具体的な実装方法については、下記の実装例 (C++, Python) を参考にしてください。

実装例 (C++) :

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main() {
    string s1, s2;
    cin >> s1 >> s2;
    if (s1 == "sick") {
        if (s2 == "sick") cout << 1 << endl;
        else cout << 2 << endl;
    } else {
        if (s2 == "sick") cout << 3 << endl;
        else cout << 4 << endl;
    }
}

実装例 (Python) :

s1, s2 = input().split()

if s1 == "sick":
  if s2 == "sick":
    print(1)
  else:
    print(2)
else:
  if s2 == "sick":
    print(3)
  else:
    print(4)