同じ名前のコンテストを重複して開催しても良いのでしょうか
例えば 4 0 2 の場合、AACが2回開催出来て答えは2でしょうか？

高橋くんは、同じ種類のコンテストを何度でも開催することができます。 / Takahashi can hold the same kind of contest any number of times.

In test cases 1,  we have 3 A, 1 B, 2 C，we use A C, then it remains {2 A, 1 B, 1 C}，we can construct {AAC}, {ABC}, {ACC}，but why the answer is 2 ?

問題文において、「文字を使う」とは「文字を消費する」ことを意味します。高橋くんがある種類の文字を 1 つ使う（消費する）ごとに、高橋くんの持っているその種類の文字が 1 つ減ります。特に、高橋くんはコンテストを一度開催するごとに 3 つの文字を消費する必要があります。/ In the problem statement, "using a letter" means "consuming a letter."  Whenever Takahashi uses (consumes) a kind of letter, the number of letters of that kind he has decreases by 1.  Notably, whenever he holds a contest, he needs to consume a total of three letters.

ボールは全て箱に入れる必要がありますか？

はい。問題文を修正しました。問題 1, 2 共に、$N$ 個 **すべての** ボールを箱に入れる方法の個数を求めてください。 / The problem statement has been clarified.  For both Problem 1 and 2, count the ways to put **all** balls into the boxes.

max(A)-min(X) というのがあるけどこれは max(A)-min(A) でしょうか

ご指摘のとおりです。問題文を訂正しました。 / The English problem statement is not affected.