\(a\) は整数として、

\[\sqrt{n^2+n+X}=n+a\]

\[\Leftrightarrow n^2+n+X=(n+a)^2\]

\[\Leftrightarrow n+X=2na+a^2\]

\[\Leftrightarrow X-a^2=(2a-1)n\]

\[\Leftrightarrow \displaystyle n=\frac{X-a^2}{2a-1}=\frac{X-\frac{1}{4}}{2a-1}-\frac{2a+1}{4}\]

\[\Leftrightarrow \displaystyle 4n=\frac{4X-1}{2a-1}-(2a+1)\]

よって、後は公式解説同様、\(4X-1\) の負の数も含む、すべての約数 \(d\) について、\(2a-1=d\) なる \(a\) が存在し、\(\displaystyle \frac{4X-1}{2a-1}-(2a+1)\) が \(4\) の倍数かを判定すればよいため、すべての \(n\) を \(O(\sqrt{X})\) で列挙することができます。