石が1個のとき「最終的に各皿に石がある確率を求めよ」という問題を考えます。このとき、問題の操作は明らかに区間平均となります。

石が複数個あるとき、期待値の線形性から、「皿に石が何個あるか」は「皿に各石がある確率の期待値の総和」となります。

区間平均操作は線形なので先に総和を取るとしてよく、最初の操作の前に和をとることで、結局 \(A\) に対して区間平均操作を行うことと等しくなります。

同じことを数式で

\(P_{x,i,j}\) を、最初皿 \(x\) にのみ石が \(1\) 個ある状態から始めて \(i\) 回目の操作後に皿 \(j\) にある確率とします。このとき \(P_{x,i,j}=\frac{1}{R_i-L_i+1}\sum_{k\in[L_i,R_i]}P_{x,i-1,k}\) となります。

\(E_{i,j}\) を、問題のとおりに皿に石がある状態から始めて \(i\) 回目の操作後に皿 \(j\) にある石の個数の期待値とします。期待値の線形性と \(P\) の漸化式から

\(E_{i,j}\\ =\sum_{x}A_xP_{x,i,j}\\ =\sum_{x}A_x\frac{1}{R_i-L_i+1}\sum_{k\in[L_i,R_i]}P_{x,i-1,k}\\ =\frac{1}{R_i-L_i+1}\sum_{k\in[L_i,R_i]}\sum_{x}A_xP_{x,i-1,k}\\ =\frac{1}{R_i-L_i+1}\sum_{k\in[L_i,R_i]}E_{i-1,k}\)

となります。また、定義から \(E_{0,j}=A_j\) です。