エラトステネスの篩のライブラリに、素因数分解を同時に行う仕組みがあれば、公式解説での尺取り法を使わずに個数を計算することができます。

具体的には、\(p^2q^2\)パートで、\(\sqrt{n}\) 以下の整数をすべて素因数分解し、素因数が互いに異なる\(2\)個の素数から成るものを数えればよいです。

素因数分解を同時に行うエラトステネスの篩の実装については、以下の記事が参考になります。(他者の外部記事になります)

エラトステネスの篩の活用法を総特集！ 4-1. 高速素因数分解 - Qiita

python実装例