F - Many Lamps Editorial /

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配点 : 550 点

問題文

頂点に 1 から N の、辺に 1 から M の番号がついた N 頂点 M 辺の単純グラフがあります。辺 i は頂点 u_i と頂点 v_i を結んでいます。
各頂点にはランプが 1 個ずつ載っています。はじめ、全てのランプは消えています。

以下の操作を 0 回以上 M 回以下行うことで、ランプがちょうど K 個ついた状態にできるかどうかを判定してください。

  • 辺を 1 本選ぶ。辺の両端点を u, v とする。u, v に載っているランプの状態を反転させる。つまり、ランプがついていたら消して、消えていたらつける。

また、ちょうど K 個のランプがついた状態にすることが可能な場合は、そのような操作の手順を出力してください。

制約

  • 1 \leq N \leq 2 \times 10^5
  • 0 \leq M \leq \min\left( 2 \times 10^5, \frac{N(N-1)}{2} \right)
  • 0 \leq K \leq N
  • 1 \leq u_i \lt v_i \leq N
  • 入力で与えられるグラフは単純
  • 入力される値は全て整数

入力

入力は以下の形式で標準入力から与えられる。

N M K
u_1 v_1
u_2 v_2
\vdots
u_M v_M

出力

ちょうど K 個のランプがついた状態にすることが不可能な場合は No を出力せよ。
可能な場合はまず Yes を出力して、その後に操作の手順を以下の形式で出力せよ。

X
e_1 e_2 \dots e_X

ここで、X は操作回数を、e_i は i 番目の操作で選ぶ辺の番号を意味する。これらは次を満たす必要がある。

  • 0 \leq X \leq M
  • 1 \leq e_i \leq M

条件を満たす操作の手順が複数ある場合は、どれを出力しても正解とみなされる。

入力例 1

5 5 4
1 2
1 3
2 4
3 5
1 5

出力例 1

Yes
3
3 4 5

出力例に従って操作を行うと次のようになります。

  • 辺 3 を選ぶ。頂点 2 と頂点 4 に載っているランプをつける。
  • 辺 4 を選ぶ。頂点 3 と頂点 5 に載っているランプをつける。
  • 辺 5 を選ぶ。頂点 1 に載っているランプをつけて、頂点 5 に載っているランプを消す。

操作を全て終了した時点で頂点 1,2,3,4 に載っているランプがついています。よってこの操作の手順は条件を満たしています。

条件を満たす操作の手順としては他に X = 4, (e_1,e_2,e_3,e_4) = (3,4,3,1) などが挙げられます。(同じ辺を 2 回以上選んでもよいです。)

入力例 2

5 5 5
1 2
1 3
2 4
3 5
1 5

出力例 2

No

入力例 3

10 10 6
2 5
2 6
3 5
3 8
4 6
4 8
5 9
6 7
6 10
7 9

出力例 3

Yes
3
10 9 6

Score: 550 points

Problem Statement

There is a simple graph with N vertices numbered 1 to N and M edges numbered 1 to M. Edge i connects vertices u_i and v_i.
Each vertex has one lamp on it. Initially, all the lamps are off.

Determine whether it is possible to turn exactly K lamps on by performing the following operation between 0 and M times, inclusive.

  • Choose one edge. Let u and v be the endpoints of the edge. Toggle the states of the lamps on u and v. That is, if the lamp is on, turn it off, and vice versa.

If it is possible to turn exactly K lamps on, print a sequence of operations that achieves this state.

Constraints

  • 1 \leq N \leq 2 \times 10^5
  • 0 \leq M \leq \min\left( 2 \times 10^5, \frac{N(N-1)}{2} \right)
  • 0 \leq K \leq N
  • 1 \leq u_i < v_i \leq N
  • The given graph is simple.
  • All input values are integers.

Input

The input is given from Standard Input in the following format:

N M K
u_1 v_1
u_2 v_2
\vdots
u_M v_M

Output

If it is impossible to turn exactly K lamps on, print No.
Otherwise, first print Yes, and then print a sequence of operations in the following format:

X
e_1 e_2 \dots e_X

Here, X is the number of operations, and e_i is the number of the edge chosen in the i-th operation. These must satisfy the following:

  • 0 \leq X \leq M
  • 1 \leq e_i \leq M

If multiple sequences of operations satisfy the conditions, any of them will be considered correct.

Sample Input 1

5 5 4
1 2
1 3
2 4
3 5
1 5

Sample Output 1

Yes
3
3 4 5

If we operate according to the sample output, it will go as follows:

  • Choose edge 3. Turn on the lamps on vertex 2 and vertex 4.
  • Choose edge 4. Turn on the lamps on vertex 3 and vertex 5.
  • Choose edge 5. Turn on the lamp on vertex 1 and turn off the lamp on vertex 5.

After completing all operations, the lamps on vertices 1, 2, 3, and 4 are on. Therefore, this sequence of operations satisfies the conditions.

Other possible sequences of operations that satisfy the conditions include X = 4, (e_1,e_2,e_3,e_4) = (3,4,3,1). (It is allowed to choose the same edge more than once.)

Sample Input 2

5 5 5
1 2
1 3
2 4
3 5
1 5

Sample Output 2

No

Sample Input 3

10 10 6
2 5
2 6
3 5
3 8
4 6
4 8
5 9
6 7
6 10
7 9

Sample Output 3

Yes
3
10 9 6