最適な正三角形の描き方において、正三角形と長方形は頂点を 少なくとも \(1\) 個共有するものとして良いです。

正三角形の一辺の長さが \(l\) の時に長方形内部に描けるかの判定を考えます。(本問の解法を先に書くと、判定が出来た場合、これを利用して長方形内部に描ける正三角形の一辺の長さ \(l\) の最大値を二分探索すれば良いです)

適当に回転や反転をし、長方形の左下の頂点が正三角形の頂点と一致するものとします。長方形の下側の辺と正三角形の下側の辺のなす角を \(\theta\) とすると、長方形の下側の辺と正三角形の上側の辺のなす角は \(\theta + 60^\circ\) となります。また、\(\theta \geq 0^\circ, \theta + 60^\circ \leq 90 ^ \circ\) より \(0^\circ \leq \theta \leq 30^\circ\) です。 ここで、正三角形の横幅は \(l \cos \theta\)、縦幅は \(l \sin \theta\) となるため、\(\cos \theta \leq \frac{B}{l}, \sin\theta \leq \frac{A}{l}, 0^\circ \leq \theta \leq 30^\circ\) を満たす \(\theta\) が存在するかどうかを考えることになります。
( \(0^\circ \leq \theta \leq 30^\circ\) の範囲内で) \(\cos \theta\) は \(\theta\) の増加に伴って減少し、\(\sin\theta\) は \(\theta\) の増加に伴って増加します。このことから、\(\cos \theta \leq \frac{B}{l}\) を満たす最小の \(\theta\) を値域内で求め(二分探索を使うか、\(\frac{B}{l}\) が \(0\) 以上 \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) 以下であるかどうかで場合分けをしながら \(\cos^{-1} \theta\) を使うことで可能です), これが \(\sin \theta \leq \frac{A}{l}\) を満たすかどうかを確認すれば良いです。