公式解説における

時刻 \(0\) に 3 人がそれぞれ \(X, Y, Z\) にいます。時刻 \(t\) に3 人が同じ地点にいる確率を \(p(t)\) とします。 \(p(0), p(1), \dots, p(T)\) を列挙してください。

という部分問題を、公式解説とは少し異なった見方で解きます（最終的に得られる畳み込みの式はほぼ同じです）。

時刻 \(0\) に \(X,Y,Z\) にいる人をそれぞれ人 \(X\)、人 \(Y\)、人 \(Z\) と呼びます。また、\(X,Y,Z\) の偶奇は一致しているものとします（一致していない場合答えは \(0\)）。

各時刻に「\(+1\) の移動」か「\(-1\) の移動」を選んで行える、というのが元の設定ですが、「\(+2\) の移動」か「移動しない」を選べるとしても問題ありません。この設定において、人 \(X,Y,Z\) が「\(+2\) の移動」を行う回数をそれぞれ \(A_X,A_Y,A_Z\) とします。

時刻 \(t\) に3 人が同じ地点にいる必要十分条件は

\[X+2A_X=Y+2A_Y=Z+2A_Z\]

すなわち、\(\alpha=\frac{X-Y}{2},\beta=\frac{Z-Y}{2}\) として、

\[A_Y=A_X+\alpha \ \land\ A_Z=A_X+\beta\]

ですから、\(A_X\) を固定すれば \(A_Y,A_Z\) も定まります。

よって、\(A_X=i\) として \(i\) を動かすことで、

\[\begin{aligned} p(t) &=\sum_{i=0}^{t}\binom{t}{i}\binom{t}{i+\alpha}\binom{t}{i+\beta}\\ &=\sum_{i=0}^{t}\frac{(t!)^3}{i!\ (t-i)!\ (i+\alpha)!\ (t-i-\alpha)!\ (i+\beta)!\ (t-i-\beta)!}\\ &=(t!)^3\sum_{i+j=t}{\LARGE (}\frac{1}{i!\ (i+\alpha)!\ (i+\beta)!}\times\frac{1}{j!\ (j-\alpha)!\ (j-\beta)!} {\LARGE )}\\ \end{aligned}\]

となって、無事畳み込める形に帰着できました。なお、負の整数の階乗は \(0\) とします。