G - Unique Walk Editorial /

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配点 : 600 点

問題文

N 頂点 M 辺の単純連結無向グラフ G が与えられます。
G の頂点は頂点 1 , 頂点 2, \ldots,頂点 N、辺は辺 1 , 辺 2, \ldots,辺 M と番号づけられており、 辺 i は、頂点 U_i と頂点 V_i を結んでいます。
また、辺の部分集合 S=\{x_1,x_2,\ldots,x_K\} が与えられます。

G 上の歩道であって、任意の x\in S について、辺 x をちょうど 1 回ずつ通るようなものが存在するか判定してください。
S に含まれていない辺は何回(0 回でも良い)通っていてもかまいません。

歩道とは 無向グラフ G 上の歩道とは、k 個 (k は正整数) の頂点と k-1 個の辺を交互に並べた列 v_1,e_1,v_2,\ldots,v_{k-1},e_{k-1},v_k であって、 辺 e_i が頂点 v_i と頂点 v_{i+1} を結んでいるようなものを指す。列の中に同じ頂点や同じ辺が何回登場しても良い。 歩道が辺 x をちょうど 1 回通るとは、e_i=x となるような 1\leq i\leq k-1 がただ 1 つ存在することをいう。

制約

  • 2 \leq N \leq 2\times 10^5
  • N-1 \leq M \leq \min(\frac{N(N-1)}{2},2\times 10^5)
  • 1 \leq U_i<V_i\leq N
  • i\neq j ならば (U_i,V_i)\neq (U_j,V_j)
  • G は連結
  • 1 \leq K \leq M
  • 1 \leq x_1<x_2<\cdots<x_K \leq M
  • 入力はすべて整数

入力

入力は以下の形式で標準入力から与えられる。

N M
U_1 V_1
U_2 V_2
\vdots
U_M V_M
K
x_1 x_2 \ldots x_K

出力

問題文の条件をみたす歩道が存在するならば Yes を、存在しないならば No を出力せよ。

入力例 1

6 6
1 3
2 3
3 4
4 5
4 6
5 6
4
1 2 4 5

出力例 1

Yes

頂点 i を v_i, 辺 j を e_j と表すことにすると、 (v_1,e_1,v_3,e_3,v_4,e_4,v_5,e_6,v_6,e_5,v_4,e_3,v_3,e_2,v_2) で表される歩道が条件をみたします。
すなわち、G 上を頂点1\to 3\to 4\to 5\to 6\to 4\to 3\to 2 の順に移動するような歩道です。
この歩道は、辺 1,2,4,5 をいずれもちょうど 1 回ずつ通っているため条件をみたします。

入力例 2

6 5
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
3
1 2 3

出力例 2

No

辺 1,2,3 をちょうど 1 回ずつ通るような歩道は存在しないため、No を出力します。

Score : 600 points

Problem Statement

You are given a simple connected undirected graph G with N vertices and M edges.
The vertices of G are numbered vertex 1, vertex 2, \ldots, and vertex N, and its edges are numbered edge 1, edge 2, \ldots, and edge M. Edge i connects vertex U_i and vertex V_i.
You are also given a subset of the edges: S=\{x_1,x_2,\ldots,x_K\}.

Determine if there is a walk on G that contains edge x exactly once for all x \in S.
The walk may contain an edge not in S any number of times (possibly zero).

What is a walk? A walk on an undirected graph G is a sequence consisting of k vertices (k is a positive integer) and (k-1) edges occurring alternately, v_1,e_1,v_2,\ldots,v_{k-1},e_{k-1},v_k, such that edge e_i connects vertex v_i and vertex v_{i+1}. The sequence may contain the same edge or vertex multiple times. A walk is said to contain an edge x exactly once if and only if there is exactly one 1\leq i\leq k-1 such that e_i=x.

Constraints

  • 2 \leq N \leq 2\times 10^5
  • N-1 \leq M \leq \min(\frac{N(N-1)}{2},2\times 10^5)
  • 1 \leq U_i<V_i\leq N
  • If i\neq j, then (U_i,V_i)\neq (U_j,V_j) .
  • G is connected.
  • 1 \leq K \leq M
  • 1 \leq x_1<x_2<\cdots<x_K \leq M
  • All values in the input are integers.

Input

The input is given from Standard Input in the following format:

N M
U_1 V_1
U_2 V_2
\vdots
U_M V_M
K
x_1 x_2 \ldots x_K

Output

Print Yes if there is a walk satisfying the condition in the Problem Statement; print No otherwise.

Sample Input 1

6 6
1 3
2 3
3 4
4 5
4 6
5 6
4
1 2 4 5

Sample Output 1

Yes

The walk (v_1,e_1,v_3,e_3,v_4,e_4,v_5,e_6,v_6,e_5,v_4,e_3,v_3,e_2,v_2) satisfies the condition, where v_i denotes vertex i and e_i denotes edge i.
In other words, the walk travels the vertices on G in this order: 1\to 3\to 4\to 5\to 6\to 4\to 3\to 2.
This walk satisfies the condition because it contains edges 1, 2, 4, and 5 exactly once each.

Sample Input 2

6 5
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
3
1 2 3

Sample Output 2

No

There is no walk that contains edges 1, 2, and 3 exactly once each, so No should be printed.