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配点 : 400 点
問題文
項数が N の正整数列 A=(a_1,\ldots,a_N) が与えられます。
A の項を 1 個以上選ぶ方法は 2^N-1 通りありますが、そのうち選んだ項の平均値が整数であるものが何通りかを 998244353 で割った余りを求めてください。
制約
- 1 \leq N \leq 100
- 1 \leq a_i \leq 10^9
- 入力はすべて整数
入力
入力は以下の形式で標準入力から与えられる。
N a_1 \ldots a_N
出力
答えを出力せよ。
入力例 1
3 2 6 2
出力例 1
6
A の項を選ぶ方法それぞれに対する平均値は以下のようになります。
-
a_1 のみを選んだ場合、平均値は \frac{a_1}{1}=\frac{2}{1} = 2 であり、整数である。
-
a_2 のみを選んだ場合、平均値は \frac{a_2}{1}=\frac{6}{1} = 6 であり、整数である。
-
a_3 のみを選んだ場合、平均値は \frac{a_3}{1}=\frac{2}{1} = 2 であり、整数である。
-
a_1 と a_2 を選んだ場合、平均値は \frac{a_1+a_2}{2}=\frac{2+6}{2} = 4 であり、整数である。
-
a_1 と a_3 を選んだ場合、平均値は \frac{a_1+a_3}{2}=\frac{2+2}{2} = 2 であり、整数である。
-
a_2 と a_3 を選んだ場合、平均値は \frac{a_2+a_3}{2}=\frac{6+2}{2} = 4 であり、整数である。
-
a_1 と a_2 と a_3 を選んだ場合、平均値は \frac{a_1+a_2+a_3}{3}=\frac{2+6+2}{3} = \frac{10}{3} であり、整数ではない。
以上より、6 通りの選び方が条件を満たします。
入力例 2
5 5 5 5 5 5
出力例 2
31
どのように A の項を 1 個以上選んでも平均値が 5 になります。
Score : 400 points
Problem Statement
You are given a sequence of positive integers A=(a_1,\ldots,a_N) of length N.
There are (2^N-1) ways to choose one or more terms of A. How many of them have an integer-valued average? Find the count modulo 998244353.
Constraints
- 1 \leq N \leq 100
- 1 \leq a_i \leq 10^9
- All values in input are integers.
Input
Input is given from Standard Input in the following format:
N a_1 \ldots a_N
Output
Print the answer.
Sample Input 1
3 2 6 2
Sample Output 1
6
For each way to choose terms of A, the average is obtained as follows:
-
If just a_1 is chosen, the average is \frac{a_1}{1}=\frac{2}{1} = 2, which is an integer.
-
If just a_2 is chosen, the average is \frac{a_2}{1}=\frac{6}{1} = 6, which is an integer.
-
If just a_3 is chosen, the average is \frac{a_3}{1}=\frac{2}{1} = 2, which is an integer.
-
If a_1 and a_2 are chosen, the average is \frac{a_1+a_2}{2}=\frac{2+6}{2} = 4, which is an integer.
-
If a_1 and a_3 are chosen, the average is \frac{a_1+a_3}{2}=\frac{2+2}{2} = 2, which is an integer.
-
If a_2 and a_3 are chosen, the average is \frac{a_2+a_3}{2}=\frac{6+2}{2} = 4, which is an integer.
-
If a_1, a_2, and a_3 are chosen, the average is \frac{a_1+a_2+a_3}{3}=\frac{2+6+2}{3} = \frac{10}{3}, which is not an integer.
Therefore, 6 ways satisfy the condition.
Sample Input 2
5 5 5 5 5 5
Sample Output 2
31
Regardless of the choice of one or more terms of A, the average equals 5.