E - Ranges on Tree 解説 /

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配点 : 500 点

問題文

N 頂点の根付き木が与えられます。頂点 1 が根です。
i = 1, 2, \ldots, N-1 について、i 番目の辺は頂点 u_i と頂点 v_i を結んでいます。

i = 1, 2, \ldots, N について、頂点 i を根とする部分木に含まれる頂点全体からなる集合を S_i で表します。（各頂点は自身を根とする部分木に含まれます。すなわち、i \in S_i です。)

また、整数 l, r について、l 以上 r 以下の整数全体からなる集合を [l, r] で表します。 すなわち、[l, r] = \lbrace l, l+1, l+2, \ldots, r \rbrace です。

整数の 2 つ組を N 個並べた列 \big((L_1, R_1), (L_2, R_2), \ldots, (L_N, R_N)\big) であって以下の条件を満たすものを考えます。

  • 1 \leq i \leq N を満たすすべての整数 i について、1 \leq L_i \leq R_i
  • 1 \leq i, j \leq N を満たすすべての整数の組 (i, j) について次が成り立つ
    • S_i \subseteq S_j ならば、[L_i, R_i] \subseteq [L_j, R_j]
    • S_i \cap S_j = \emptyset ならば、[L_i, R_i] \cap [L_j, R_j] = \emptyset

そのような \big((L_1, R_1), (L_2, R_2), \ldots, (L_N, R_N)\big) が少なくとも 1 つ存在することが示せます。 それらのうち、登場する整数の最大値 \max \lbrace L_1, L_2, \ldots, L_N, R_1, R_2, \ldots, R_N \rbrace が最小のものを 1 つ出力してください。（複数ある場合はどれを出力しても正解となります。）

制約

  • 2 \leq N \leq 2 \times 10^5
  • 1 \leq u_i, v_i \leq N
  • 入力はすべて整数
  • 与えられるグラフは木である

入力

入力は以下の形式で標準入力から与えられる。

N
u_1 v_1
u_2 v_2
\vdots
u_{N-1} v_{N-1}

出力

下記の形式で N 行出力せよ。すなわち、i = 1, 2, \ldots, N について、i 行目に L_i と R_i を空白区切りで出力せよ。

L_1 R_1
L_2 R_2
\vdots
L_N R_N

入力例 1

3
2 1
3 1

出力例 1

1 2
2 2
1 1

(L_1, R_1) = (1, 2), (L_2, R_2) = (2, 2), (L_3, R_3) = (1, 1) が問題文中の条件を満たします。
実際、[L_2, R_2] \subseteq [L_1, R_1], [L_3, R_3] \subseteq [L_1, R_1], [L_2, R_2] \cap [L_3, R_3] = \emptyset が成り立ちます。
また、\max \lbrace L_1, L_2, L_3, R_1, R_2, R_3 \rbrace = 2 であり、これが最小です。

入力例 2

5
3 4
5 4
1 2
1 4

出力例 2

1 3
3 3
2 2
1 2
1 1

入力例 3

5
4 5
3 2
5 2
3 1

出力例 3

1 1
1 1
1 1
1 1
1 1

Score : 500 points

Problem Statement

You are given a rooted tree with N vertices. The root is Vertex 1.
For each i = 1, 2, \ldots, N-1, the i-th edge connects Vertex u_i and Vertex v_i.

For each i = 1, 2, \ldots, N, let S_i denote the set of all vertices in the subtree rooted at Vertex i. (Each vertex is in the subtree rooted at itself, that is, i \in S_i.)

Additionally, for integers l and r, let [l, r] denote the set of all integers between l and r, that is, [l, r] = \lbrace l, l+1, l+2, \ldots, r \rbrace.

Consider a sequence of N pairs of integers \big((L_1, R_1), (L_2, R_2), \ldots, (L_N, R_N)\big) that satisfies the conditions below.

  • 1 \leq L_i \leq R_i for every integer i such that 1 \leq i \leq N.
  • The following holds for every pair of integers (i, j) such that 1 \leq i, j \leq N.
    • [L_i, R_i] \subseteq [L_j, R_j] if S_i \subseteq S_j
    • [L_i, R_i] \cap [L_j, R_j] = \emptyset if S_i \cap S_j = \emptyset

It can be shown that there is at least one sequence \big((L_1, R_1), (L_2, R_2), \ldots, (L_N, R_N)\big). Among those sequences, print one that minimizes \max \lbrace L_1, L_2, \ldots, L_N, R_1, R_2, \ldots, R_N \rbrace, the maximum integer used. (If there are multiple such sequences, you may print any of them.)

Constraints

  • 2 \leq N \leq 2 \times 10^5
  • 1 \leq u_i, v_i \leq N
  • All values in input are integers.
  • The given graph is a tree.

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

N
u_1 v_1
u_2 v_2
\vdots
u_{N-1} v_{N-1}

Output

Print N lines in the format below. That is, for each i = 1, 2, \ldots, N, the i-th line should contain L_i and R_i separated by a space.

L_1 R_1
L_2 R_2
\vdots
L_N R_N

Sample Input 1

3
2 1
3 1

Sample Output 1

1 2
2 2
1 1

(L_1, R_1) = (1, 2), (L_2, R_2) = (2, 2), (L_3, R_3) = (1, 1) satisfies the conditions.
Indeed, we have [L_2, R_2] \subseteq [L_1, R_1], [L_3, R_3] \subseteq [L_1, R_1], [L_2, R_2] \cap [L_3, R_3] = \emptyset.
Additionally, \max \lbrace L_1, L_2, L_3, R_1, R_2, R_3 \rbrace = 2 is the minimum possible value.

Sample Input 2

5
3 4
5 4
1 2
1 4

Sample Output 2

1 3
3 3
2 2
1 2
1 1

Sample Input 3

5
4 5
3 2
5 2
3 1

Sample Output 3

1 1
1 1
1 1
1 1
1 1