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配点 : 300 点
問題文
xy 座標平面上の 2 つの格子点 (x_1, y_1), (x_2, y_2) からの距離がともに \sqrt{5} である格子点は存在しますか？
注記
xy 座標平面上にある点のうち、x 座標と y 座標がともに整数である点を格子点と呼びます。
また、xy 平面上の 2 点 (a, b), (c, d) の距離をユークリッド距離 \sqrt{(a - c)^2 + (b-d)^2} として定義します。
参考として、xy 平面の (0, 0) の上に黒丸を、(0, 0) からの距離が \sqrt{5} となる格子点の上に白丸を書いた図は以下のようになります。(x,y いずれかが整数となる部分に目盛り線を引いています。)
制約
- -10^9 \leq x_1 \leq 10^9
- -10^9 \leq y_1 \leq 10^9
- -10^9 \leq x_2 \leq 10^9
- -10^9 \leq y_2 \leq 10^9
- (x_1, y_1) \neq (x_2, y_2)
- 入力はすべて整数である。
入力
入力は以下の形式で標準入力から与えられる。
x_1 y_1 x_2 y_2
出力
条件を満たす格子点が存在する場合は Yes を、存在しない場合は No を出力せよ。
入力例 1
0 0 3 3
出力例 1
Yes
- 点 (2,1) と (x_1, y_1) の距離は \sqrt{(0-2)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{5}
- 点 (2,1) と (x_2, y_2) の距離は \sqrt{(3-2)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{5}
- 点 (2, 1) は格子点
なので点 (2, 1) は条件を満たします。よって Yes を出力します。
なお、点 (1, 2) も条件を満たすことが同様にして確認できます。
入力例 2
0 1 2 3
出力例 2
No
条件を満たす格子点は存在しません。よって No を出力します。
入力例 3
1000000000 1000000000 999999999 999999999
出力例 3
Yes
点 (10^9 + 1, 10^9 - 2) および点 (10^9 - 2, 10^9 + 1)が条件を満たします。
Score : 300 points
Problem Statement
On an xy-coordinate plane, is there a lattice point whose distances from two lattice points (x_1, y_1) and (x_2, y_2) are both \sqrt{5}?
Notes
A point on an xy-coordinate plane whose x and y coordinates are both integers is called a lattice point.
The distance between two points (a, b) and (c, d) is defined to be the Euclidean distance between them, \sqrt{(a - c)^2 + (b-d)^2}.
The following figure illustrates an xy-plane with a black circle at (0, 0) and white circles at the lattice points whose distances from (0, 0) are \sqrt{5}. (The grid shows where either x or y is an integer.)
Constraints
- -10^9 \leq x_1 \leq 10^9
- -10^9 \leq y_1 \leq 10^9
- -10^9 \leq x_2 \leq 10^9
- -10^9 \leq y_2 \leq 10^9
- (x_1, y_1) \neq (x_2, y_2)
- All values in input are integers.
Input
Input is given from Standard Input in the following format:
x_1 y_1 x_2 y_2
Output
If there is a lattice point satisfying the condition, print Yes; otherwise, print No.
Sample Input 1
0 0 3 3
Sample Output 1
Yes
- The distance between points (2,1) and (x_1, y_1) is \sqrt{(0-2)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{5};
- the distance between points (2,1) and (x_2, y_2) is \sqrt{(3-2)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{5};
- point (2, 1) is a lattice point,
so point (2, 1) satisfies the condition. Thus, Yes should be printed.
One can also assert in the same way that (1, 2) also satisfies the condition.
Sample Input 2
0 1 2 3
Sample Output 2
No
No lattice point satisfies the condition, so No should be printed.
Sample Input 3
1000000000 1000000000 999999999 999999999
Sample Output 3
Yes
Point (10^9 + 1, 10^9 - 2) and point (10^9 - 2, 10^9 + 1) satisfy the condition.