F - Intervals on Tree /

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配点 : 600

問題文

N 頂点 N-1 辺から成る木があり、頂点には 1, 2,\cdots, N の番号が、辺には 1, 2, \cdots, N-1 の番号がついています。辺 i は頂点 u_i, v_i を繋いでいます。

整数 1 \leq L \leq R \leq N に対して関数 f(L, R) を次のように定義します。

  • S を番号が L 以上 R 以下の頂点から成る集合とする。頂点集合 S と、両端が S に属する辺のみから成るような部分グラフの連結成分の個数を f(L, R) で表す。

\sum_{L=1}^{N} \sum_{R=L}^{N} f(L, R) を計算してください。

制約

  • 1 \leq N \leq 2 \times 10^5
  • 1 \leq u_i, v_i \leq N
  • 与えられるグラフは木である
  • 入力は全て整数である

入力

入力は以下の形式で標準入力から与えられる。

N
u_1 v_1
u_2 v_2
:
u_{N-1} v_{N-1}

出力

\sum_{L=1}^{N} \sum_{R=L}^{N} f(L, R) を出力せよ。


入力例 1

3
1 3
2 3

出力例 1

7

考えられる L, R の組み合わせは以下の 6 通りがあります。

  • L = 1, R = 1 のとき、S = \{1\} であり、連結成分の個数は 1 です。
  • L = 1, R = 2 のとき、S = \{1, 2\} であり、連結成分の個数は 2 です。
  • L = 1, R = 3 のとき、S = \{1, 2, 3\} であり、辺 1, 2 は両端が S に含まれるので、連結成分の個数は 1 です。
  • L = 2, R = 2 のとき、S = \{2\} であり、連結成分の個数は 1 です。
  • L = 2, R = 3 のとき、S = \{2, 3\} であり、辺 2 は両端が S に含まれるので、連結成分の個数は 1 です。
  • L = 3, R = 3 のとき、S = \{3\} であり、連結成分の個数は 1 です。

これらの和は 7 です。


入力例 2

2
1 2

出力例 2

3

入力例 3

10
5 3
5 7
8 9
1 9
9 10
8 4
7 4
6 10
7 2

出力例 3

113

Score : 600 points

Problem Statement

We have a tree with N vertices and N-1 edges, respectively numbered 1, 2,\cdots, N and 1, 2, \cdots, N-1. Edge i connects Vertex u_i and v_i.

For integers L, R (1 \leq L \leq R \leq N), let us define a function f(L, R) as follows:

  • Let S be the set of the vertices numbered L through R. f(L, R) represents the number of connected components in the subgraph formed only from the vertex set S and the edges whose endpoints both belong to S.

Compute \sum_{L=1}^{N} \sum_{R=L}^{N} f(L, R).

Constraints

  • 1 \leq N \leq 2 \times 10^5
  • 1 \leq u_i, v_i \leq N
  • The given graph is a tree.
  • All values in input are integers.

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

N
u_1 v_1
u_2 v_2
:
u_{N-1} v_{N-1}

Output

Print \sum_{L=1}^{N} \sum_{R=L}^{N} f(L, R).


Sample Input 1

3
1 3
2 3

Sample Output 1

7

We have six possible pairs (L, R) as follows:

  • For L = 1, R = 1, S = \{1\} and we have 1 connected component.
  • For L = 1, R = 2, S = \{1, 2\} and we have 2 connected components.
  • For L = 1, R = 3, S = \{1, 2, 3\} and we have 1 connected component, since S contains both endpoints of each of the edges 1, 2.
  • For L = 2, R = 2, S = \{2\} and we have 1 connected component.
  • For L = 2, R = 3, S = \{2, 3\} and we have 1 connected component, since S contains both endpoints of Edge 2.
  • For L = 3, R = 3, S = \{3\} and we have 1 connected component.

The sum of these is 7.


Sample Input 2

2
1 2

Sample Output 2

3

Sample Input 3

10
5 3
5 7
8 9
1 9
9 10
8 4
7 4
6 10
7 2

Sample Output 3

113